Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18457 / 15325
↖ ↑ ↗
← N 11.555380°
E 22.774658°		 ← 1 196.88 m → N 11.555380°
E 22.785645°		 →
↑
1 196.86 m
↓
↑
1 196.86 m
↓
N 11.544617°
E 22.774658°		 ← 1 196.92 m →
1 432 519 m²		 N 11.544617°
E 22.785645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563278198242188 y=0.467697143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563278198242188 × 215)
    floor (0.563278198242188 × 32768)
    floor (18457.5)     		tx = 18457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467697143554688 × 215)
    floor (0.467697143554688 × 32768)
    floor (15325.5)     		ty = 15325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18457 / 15325 ti = "15/18457/15325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18457/15325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18457 ÷ 215
    18457 ÷ 32768     		x = 0.563262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15325 ÷ 215
    15325 ÷ 32768     		y = 0.467681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563262939453125 × 2 - 1) × π
    0.12652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39749277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467681884765625 × 2 - 1) × π
    0.06463623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.203060706790558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39749277} λ = 0.39749277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203060706790558))-π/2
    2×atan(1.22514684072268)-π/2
    2×0.886237879866944-π/2
    1.77247575973389-1.57079632675     		φ = 0.20167943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39749277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.774658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20167943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.555380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18457 KachelY 15325 0.39749277 0.20167943 22.774658 11.555380
    Oben rechts KachelX + 1 18458 KachelY 15325 0.39768452 0.20167943 22.785645 11.555380
    Unten links KachelX 18457 KachelY + 1 15326 0.39749277 0.20149157 22.774658 11.544617
    Unten rechts KachelX + 1 18458 KachelY + 1 15326 0.39768452 0.20149157 22.785645 11.544617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20167943-0.20149157) × R
    0.000187859999999984 × 6371000     		dl = 1196.8560599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20167943-0.20149157) × R
    0.000187859999999984 × 6371000     		dr = 1196.8560599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39749277-0.39768452) × cos(0.20167943) × R
    0.000191749999999991 × 0.97973154463259 × 6371000     		do = 1196.87850938624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39749277-0.39768452) × cos(0.20149157) × R
    0.000191749999999991 × 0.979769158520805 × 6371000     		du = 1196.92445998843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20167943)-sin(0.20149157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97973154463259-0.979769158520805)×R²
    abs(0.39768452-0.39749277)×3.76138882151045e-05×R²
    0.000191749999999991×3.76138882151045e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.76138882151045e-05×40589641000000     		ar = 1432518.79938392m²