Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18456 / 22680
↖ ↑ ↗
← N 75.392239°
W129.309082°		 ← 77.01 m → N 75.392239°
W129.306336°		 →
↑
77.03 m
↓
↑
77.03 m
↓
N 75.391546°
W129.309082°		 ← 77.02 m →
5 932 m²		 N 75.391546°
W129.306336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140811920166016 y=0.173038482666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140811920166016 × 217)
    floor (0.140811920166016 × 131072)
    floor (18456.5)     		tx = 18456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173038482666016 × 217)
    floor (0.173038482666016 × 131072)
    floor (22680.5)     		ty = 22680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18456 / 22680 ti = "17/18456/22680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18456/22680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18456 ÷ 217
    18456 ÷ 131072     		x = 0.14080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22680 ÷ 217
    22680 ÷ 131072     		y = 0.17303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.7183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25686923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17303466796875 × 2 - 1) × π
    0.6539306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.05438377011713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25686923} λ = -2.25686923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05438377011713))-π/2
    2×atan(7.80202854782506)-π/2
    2×1.44331956335526-π/2
    2.88663912671052-1.57079632675     		φ = 1.31584280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25686923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.309082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31584280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.392239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18456 KachelY 22680 -2.25686923 1.31584280 -129.309082 75.392239
    Oben rechts KachelX + 1 18457 KachelY 22680 -2.25682130 1.31584280 -129.306336 75.392239
    Unten links KachelX 18456 KachelY + 1 22681 -2.25686923 1.31583071 -129.309082 75.391546
    Unten rechts KachelX + 1 18457 KachelY + 1 22681 -2.25682130 1.31583071 -129.306336 75.391546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31584280-1.31583071) × R
    1.20900000000201e-05 × 6371000     		dl = 77.0253900001283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31584280-1.31583071) × R
    1.20900000000201e-05 × 6371000     		dr = 77.0253900001283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25686923--2.25682130) × cos(1.31584280) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.252200437947188 × 6371000     		do = 77.0124376984895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25686923--2.25682130) × cos(1.31583071) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.252212137119715 × 6371000     		du = 77.0160101815617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31584280)-sin(1.31583071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252200437947188-0.252212137119715)×R²
    abs(-2.25682130--2.25686923)×1.16991725270243e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16991725270243e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16991725270243e-05×40589641000000     		ar = 5932.05063452615m²