Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18455 / 22682
↖ ↑ ↗
← N 75.390854°
W129.311829°		 ← 77.04 m → N 75.390854°
W129.309082°		 →
↑
77.03 m
↓
↑
77.03 m
↓
N 75.390161°
W129.311829°		 ← 77.04 m →
5 934 m²		 N 75.390161°
W129.309082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140804290771484 y=0.173053741455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140804290771484 × 217)
    floor (0.140804290771484 × 131072)
    floor (18455.5)     		tx = 18455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173053741455078 × 217)
    floor (0.173053741455078 × 131072)
    floor (22682.5)     		ty = 22682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18455 / 22682 ti = "17/18455/22682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18455/22682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18455 ÷ 217
    18455 ÷ 131072     		x = 0.140800476074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22682 ÷ 217
    22682 ÷ 131072     		y = 0.173049926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140800476074219 × 2 - 1) × π
    -0.718399047851562 × 3.1415926535     		Λ = -2.25691717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173049926757812 × 2 - 1) × π
    0.653900146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05428789631789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25691717} λ = -2.25691717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05428789631789))-π/2
    2×atan(7.80128057356254)-π/2
    2×1.44330747308735-π/2
    2.88661494617471-1.57079632675     		φ = 1.31581862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25691717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.311829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31581862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.390854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18455 KachelY 22682 -2.25691717 1.31581862 -129.311829 75.390854
    Oben rechts KachelX + 1 18456 KachelY 22682 -2.25686923 1.31581862 -129.309082 75.390854
    Unten links KachelX 18455 KachelY + 1 22683 -2.25691717 1.31580653 -129.311829 75.390161
    Unten rechts KachelX + 1 18456 KachelY + 1 22683 -2.25686923 1.31580653 -129.309082 75.390161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31581862-1.31580653) × R
    1.20900000000201e-05 × 6371000     		dl = 77.0253900001283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31581862-1.31580653) × R
    1.20900000000201e-05 × 6371000     		dr = 77.0253900001283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25691717--2.25686923) × cos(1.31581862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.252223836255377 × 6371000     		do = 77.0356518338868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25691717--2.25686923) × cos(1.31580653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.252235535354171 × 6371000     		du = 77.0392250397934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31581862)-sin(1.31580653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252223836255377-0.252235535354171)×R²
    abs(-2.25686923--2.25691717)×1.16990987945598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16990987945598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16990987945598e-05×40589641000000     		ar = 5933.83874031263m²