Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18453 / 22526
↖ ↑ ↗
← N 75.498533°
W129.317322°		 ← 76.46 m → N 75.498533°
W129.314575°		 →
↑
76.45 m
↓
↑
76.45 m
↓
N 75.497845°
W129.317322°		 ← 76.47 m →
5 846 m²		 N 75.497845°
W129.314575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140789031982422 y=0.171863555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140789031982422 × 217)
    floor (0.140789031982422 × 131072)
    floor (18453.5)     		tx = 18453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171863555908203 × 217)
    floor (0.171863555908203 × 131072)
    floor (22526.5)     		ty = 22526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18453 / 22526 ti = "17/18453/22526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18453/22526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18453 ÷ 217
    18453 ÷ 131072     		x = 0.140785217285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22526 ÷ 217
    22526 ÷ 131072     		y = 0.171859741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140785217285156 × 2 - 1) × π
    -0.718429565429688 × 3.1415926535     		Λ = -2.25701304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171859741210938 × 2 - 1) × π
    0.656280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06176605265862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25701304} λ = -2.25701304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06176605265862))-π/2
    2×atan(7.8598384489298)-π/2
    2×1.44424715313239-π/2
    2.88849430626478-1.57079632675     		φ = 1.31769798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25701304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.317322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31769798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.498533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18453 KachelY 22526 -2.25701304 1.31769798 -129.317322 75.498533
    Oben rechts KachelX + 1 18454 KachelY 22526 -2.25696511 1.31769798 -129.314575 75.498533
    Unten links KachelX 18453 KachelY + 1 22527 -2.25701304 1.31768598 -129.317322 75.497845
    Unten rechts KachelX + 1 18454 KachelY + 1 22527 -2.25696511 1.31768598 -129.314575 75.497845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31769798-1.31768598) × R
    1.1999999999901e-05 × 6371000     		dl = 76.4519999993691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31769798-1.31768598) × R
    1.1999999999901e-05 × 6371000     		dr = 76.4519999993691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25701304--2.25696511) × cos(1.31769798) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250404793640266 × 6371000     		do = 76.4641161077695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25701304--2.25696511) × cos(1.31768598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250416411316985 × 6371000     		du = 76.4676637051162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31769798)-sin(1.31768598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250404793640266-0.250416411316985)×R²
    abs(-2.25696511--2.25701304)×1.16176767187004e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16176767187004e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16176767187004e-05×40589641000000     		ar = 5845.97021506331m²