Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18453 / 22525
↖ ↑ ↗
← N 75.499220°
W129.317322°		 ← 76.46 m → N 75.499220°
W129.314575°		 →
↑
76.45 m
↓
↑
76.45 m
↓
N 75.498533°
W129.317322°		 ← 76.46 m →
5 846 m²		 N 75.498533°
W129.314575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140789031982422 y=0.171855926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140789031982422 × 217)
    floor (0.140789031982422 × 131072)
    floor (18453.5)     		tx = 18453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171855926513672 × 217)
    floor (0.171855926513672 × 131072)
    floor (22525.5)     		ty = 22525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18453 / 22525 ti = "17/18453/22525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18453/22525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18453 ÷ 217
    18453 ÷ 131072     		x = 0.140785217285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22525 ÷ 217
    22525 ÷ 131072     		y = 0.171852111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140785217285156 × 2 - 1) × π
    -0.718429565429688 × 3.1415926535     		Λ = -2.25701304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171852111816406 × 2 - 1) × π
    0.656295776367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.06181398955824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25701304} λ = -2.25701304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06181398955824))-π/2
    2×atan(7.86021523424744)-π/2
    2×1.44425315480786-π/2
    2.88850630961573-1.57079632675     		φ = 1.31770998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25701304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.317322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31770998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.499220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18453 KachelY 22525 -2.25701304 1.31770998 -129.317322 75.499220
    Oben rechts KachelX + 1 18454 KachelY 22525 -2.25696511 1.31770998 -129.314575 75.499220
    Unten links KachelX 18453 KachelY + 1 22526 -2.25701304 1.31769798 -129.317322 75.498533
    Unten rechts KachelX + 1 18454 KachelY + 1 22526 -2.25696511 1.31769798 -129.314575 75.498533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31770998-1.31769798) × R
    1.2000000000123e-05 × 6371000     		dl = 76.4520000007838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31770998-1.31769798) × R
    1.2000000000123e-05 × 6371000     		dr = 76.4520000007838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25701304--2.25696511) × cos(1.31770998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250393175927489 × 6371000     		do = 76.4605684994119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25701304--2.25696511) × cos(1.31769798) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250404793640266 × 6371000     		du = 76.4641161077695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31770998)-sin(1.31769798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250393175927489-0.250404793640266)×R²
    abs(-2.25696511--2.25701304)×1.16177127771899e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16177127771899e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16177127771899e-05×40589641000000     		ar = 5845.69899388075m²