Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18451 / 18429
↖ ↑ ↗
← S 21.912471°
E 22.708740°		 ← 1 133.32 m → S 21.912471°
E 22.719726°		 →
↑
1 133.27 m
↓
↑
1 133.27 m
↓
S 21.922663°
E 22.708740°		 ← 1 133.24 m →
1 284 319 m²		 S 21.922663°
E 22.719726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563095092773438 y=0.562423706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563095092773438 × 215)
    floor (0.563095092773438 × 32768)
    floor (18451.5)     		tx = 18451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562423706054688 × 215)
    floor (0.562423706054688 × 32768)
    floor (18429.5)     		ty = 18429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18451 / 18429 ti = "15/18451/18429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18451/18429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18451 ÷ 215
    18451 ÷ 32768     		x = 0.563079833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18429 ÷ 215
    18429 ÷ 32768     		y = 0.562408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563079833984375 × 2 - 1) × π
    0.12615966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39634229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.12481689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.392123838892059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39634229} λ = 0.39634229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.392123838892059))-π/2
    2×atan(0.675620440692903)-π/2
    2×0.594175780716703-π/2
    1.18835156143341-1.57079632675     		φ = -0.38244477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39634229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.708740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38244477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.912471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18451 KachelY 18429 0.39634229 -0.38244477 22.708740 -21.912471
    Oben rechts KachelX + 1 18452 KachelY 18429 0.39653403 -0.38244477 22.719726 -21.912471
    Unten links KachelX 18451 KachelY + 1 18430 0.39634229 -0.38262265 22.708740 -21.922663
    Unten rechts KachelX + 1 18452 KachelY + 1 18430 0.39653403 -0.38262265 22.719726 -21.922663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38244477--0.38262265) × R
    0.000177880000000019 × 6371000     		dl = 1133.27348000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38244477--0.38262265) × R
    0.000177880000000019 × 6371000     		dr = 1133.27348000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39634229-0.39653403) × cos(-0.38244477) × R
    0.000191739999999996 × 0.927755045977215 × 6371000     		do = 1133.32287127732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39634229-0.39653403) × cos(-0.38262265) × R
    0.000191739999999996 × 0.927688648310687 × 6371000     		du = 1133.24176151197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38244477)-sin(-0.38262265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927755045977215-0.927688648310687)×R²
    abs(0.39653403-0.39634229)×6.63976665281618e-05×R²
    0.000191739999999996×6.63976665281618e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.63976665281618e-05×40589641000000     		ar = 1284318.79790981m²