Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1845 / 845
↖ ↑ ↗
← N 72.046840°
W 17.841797°		 ← 3 012.42 m → N 72.046840°
W 17.753906°		 →
↑
3 014.63 m
↓
↑
3 014.63 m
↓
N 72.019729°
W 17.841797°		 ← 3 016.82 m →
9 087 960 m²		 N 72.019729°
W 17.753906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4505615234375 y=0.2064208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4505615234375 × 212)
    floor (0.4505615234375 × 4096)
    floor (1845.5)     		tx = 1845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2064208984375 × 212)
    floor (0.2064208984375 × 4096)
    floor (845.5)     		ty = 845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1845 / 845 ti = "12/1845/845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1845/845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1845 ÷ 212
    1845 ÷ 4096     		x = 0.450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 845 ÷ 212
    845 ÷ 4096     		y = 0.206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450439453125 × 2 - 1) × π
    -0.09912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31139810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206298828125 × 2 - 1) × π
    0.58740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84537888777368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31139810} λ = -0.31139810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84537888777368))-π/2
    2×atan(6.33049788431883)-π/2
    2×1.41412544929127-π/2
    2.82825089858254-1.57079632675     		φ = 1.25745457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31139810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.841797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25745457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.046840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1845 KachelY 845 -0.31139810 1.25745457 -17.841797 72.046840
    Oben rechts KachelX + 1 1846 KachelY 845 -0.30986412 1.25745457 -17.753906 72.046840
    Unten links KachelX 1845 KachelY + 1 846 -0.31139810 1.25698139 -17.841797 72.019729
    Unten rechts KachelX + 1 1846 KachelY + 1 846 -0.30986412 1.25698139 -17.753906 72.019729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25745457-1.25698139) × R
    0.000473179999999962 × 6371000     		dl = 3014.62977999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25745457-1.25698139) × R
    0.000473179999999962 × 6371000     		dr = 3014.62977999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31139810--0.30986412) × cos(1.25745457) × R
    0.00153397999999999 × 0.3082393943534 × 6371000     		do = 3012.41946444309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31139810--0.30986412) × cos(1.25698139) × R
    0.00153397999999999 × 0.30868950013794 × 6371000     		du = 3016.81834223498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25745457)-sin(1.25698139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3082393943534-0.30868950013794)×R²
    abs(-0.30986412--0.31139810)×0.000450105784539856×R²
    0.00153397999999999×0.000450105784539856×6371000²
    0.00153397999999999×0.000450105784539856×40589641000000     		ar = 9087960.09092152m²