Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18447 / 15310
↖ ↑ ↗
← N 11.716789°
E 22.664795°		 ← 1 196.12 m → N 11.716789°
E 22.675781°		 →
↑
1 196.22 m
↓
↑
1 196.22 m
↓
N 11.706031°
E 22.664795°		 ← 1 196.17 m →
1 430 852 m²		 N 11.706031°
E 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562973022460938 y=0.467239379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562973022460938 × 215)
    floor (0.562973022460938 × 32768)
    floor (18447.5)     		tx = 18447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467239379882812 × 215)
    floor (0.467239379882812 × 32768)
    floor (15310.5)     		ty = 15310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18447 / 15310 ti = "15/18447/15310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18447/15310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18447 ÷ 215
    18447 ÷ 32768     		x = 0.562957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15310 ÷ 215
    15310 ÷ 32768     		y = 0.46722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562957763671875 × 2 - 1) × π
    0.12591552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39557530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46722412109375 × 2 - 1) × π
    0.0655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.205936920767761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39557530} λ = 0.39557530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205936920767761))-π/2
    2×atan(1.22867569763114)-π/2
    2×0.887646430977026-π/2
    1.77529286195405-1.57079632675     		φ = 0.20449654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39557530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.664795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20449654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.716789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18447 KachelY 15310 0.39557530 0.20449654 22.664795 11.716789
    Oben rechts KachelX + 1 18448 KachelY 15310 0.39576704 0.20449654 22.675781 11.716789
    Unten links KachelX 18447 KachelY + 1 15311 0.39557530 0.20430878 22.664795 11.706031
    Unten rechts KachelX + 1 18448 KachelY + 1 15311 0.39576704 0.20430878 22.675781 11.706031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20449654-0.20430878) × R
    0.000187760000000009 × 6371000     		dl = 1196.21896000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20449654-0.20430878) × R
    0.000187760000000009 × 6371000     		dr = 1196.21896000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39557530-0.39576704) × cos(0.20449654) × R
    0.000191739999999996 × 0.979163348355245 × 6371000     		do = 1196.12199601524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39557530-0.39576704) × cos(0.20430878) × R
    0.000191739999999996 × 0.979201460310209 × 6371000     		du = 1196.16855264721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20449654)-sin(0.20430878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979163348355245-0.979201460310209)×R²
    abs(0.39576704-0.39557530)×3.81119549647257e-05×R²
    0.000191739999999996×3.81119549647257e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.81119549647257e-05×40589641000000     		ar = 1430851.66027292m²