Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18446 / 15311
↖ ↑ ↗
← N 11.706031°
E 22.653809°		 ← 1 196.23 m → N 11.706031°
E 22.664795°		 →
↑
1 196.22 m
↓
↑
1 196.22 m
↓
N 11.695273°
E 22.653809°		 ← 1 196.28 m →
1 430 982 m²		 N 11.695273°
E 22.664795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562942504882812 y=0.467269897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562942504882812 × 215)
    floor (0.562942504882812 × 32768)
    floor (18446.5)     		tx = 18446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467269897460938 × 215)
    floor (0.467269897460938 × 32768)
    floor (15311.5)     		ty = 15311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18446 / 15311 ti = "15/18446/15311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18446/15311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18446 ÷ 215
    18446 ÷ 32768     		x = 0.56292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15311 ÷ 215
    15311 ÷ 32768     		y = 0.467254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56292724609375 × 2 - 1) × π
    0.1258544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39538355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467254638671875 × 2 - 1) × π
    0.06549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.205745173169281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39538355} λ = 0.39538355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205745173169281))-π/2
    2×atan(1.22844012460281)-π/2
    2×0.887552553039456-π/2
    1.77510510607891-1.57079632675     		φ = 0.20430878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39538355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.653809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20430878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.706031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18446 KachelY 15311 0.39538355 0.20430878 22.653809 11.706031
    Oben rechts KachelX + 1 18447 KachelY 15311 0.39557530 0.20430878 22.664795 11.706031
    Unten links KachelX 18446 KachelY + 1 15312 0.39538355 0.20412102 22.653809 11.695273
    Unten rechts KachelX + 1 18447 KachelY + 1 15312 0.39557530 0.20412102 22.664795 11.695273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20430878-0.20412102) × R
    0.000187760000000009 × 6371000     		dl = 1196.21896000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20430878-0.20412102) × R
    0.000187760000000009 × 6371000     		dr = 1196.21896000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39538355-0.39557530) × cos(0.20430878) × R
    0.000191750000000046 × 0.979201460310209 × 6371000     		do = 1196.23093757256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39538355-0.39557530) × cos(0.20412102) × R
    0.000191750000000046 × 0.979239537744585 × 6371000     		du = 1196.27745446093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20430878)-sin(0.20412102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979201460310209-0.979239537744585)×R²
    abs(0.39557530-0.39538355)×3.80774343752277e-05×R²
    0.000191750000000046×3.80774343752277e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.80774343752277e-05×40589641000000     		ar = 1430981.95445881m²