Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18444 / 22668
↖ ↑ ↗
← N 75.400549°
W129.342041°		 ← 76.99 m → N 75.400549°
W129.339294°		 →
↑
77.03 m
↓
↑
77.03 m
↓
N 75.399856°
W129.342041°		 ← 76.99 m →
5 930 m²		 N 75.399856°
W129.339294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140720367431641 y=0.172946929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140720367431641 × 217)
    floor (0.140720367431641 × 131072)
    floor (18444.5)     		tx = 18444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172946929931641 × 217)
    floor (0.172946929931641 × 131072)
    floor (22668.5)     		ty = 22668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18444 / 22668 ti = "17/18444/22668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18444/22668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18444 ÷ 217
    18444 ÷ 131072     		x = 0.140716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22668 ÷ 217
    22668 ÷ 131072     		y = 0.172943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.71856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25744448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172943115234375 × 2 - 1) × π
    0.65411376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05495901291257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25744448} λ = -2.25744448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05495901291257))-π/2
    2×atan(7.80651789964686)-π/2
    2×1.44339208141211-π/2
    2.88678416282422-1.57079632675     		φ = 1.31598784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25744448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.342041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31598784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.400549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18444 KachelY 22668 -2.25744448 1.31598784 -129.342041 75.400549
    Oben rechts KachelX + 1 18445 KachelY 22668 -2.25739654 1.31598784 -129.339294 75.400549
    Unten links KachelX 18444 KachelY + 1 22669 -2.25744448 1.31597575 -129.342041 75.399856
    Unten rechts KachelX + 1 18445 KachelY + 1 22669 -2.25739654 1.31597575 -129.339294 75.399856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31598784-1.31597575) × R
    1.20900000000201e-05 × 6371000     		dl = 77.0253900001283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31598784-1.31597575) × R
    1.20900000000201e-05 × 6371000     		dr = 77.0253900001283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25744448--2.25739654) × cos(1.31598784) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.252060083710451 × 6371000     		do = 76.9856375923892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25744448--2.25739654) × cos(1.31597575) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.252071783325108 × 6371000     		du = 76.9892109558534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31598784)-sin(1.31597575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252060083710451-0.252071783325108)×R²
    abs(-2.25739654--2.25744448)×1.1699614656191e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.1699614656191e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.1699614656191e-05×40589641000000     		ar = 5929.9863799629m²