Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18444 / 22500
↖ ↑ ↗
← N 75.516404°
W129.342041°		 ← 76.39 m → N 75.516404°
W129.339294°		 →
↑
76.39 m
↓
↑
76.39 m
↓
N 75.515717°
W129.342041°		 ← 76.39 m →
5 835 m²		 N 75.515717°
W129.339294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140720367431641 y=0.171665191650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140720367431641 × 217)
    floor (0.140720367431641 × 131072)
    floor (18444.5)     		tx = 18444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171665191650391 × 217)
    floor (0.171665191650391 × 131072)
    floor (22500.5)     		ty = 22500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18444 / 22500 ti = "17/18444/22500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18444/22500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18444 ÷ 217
    18444 ÷ 131072     		x = 0.140716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22500 ÷ 217
    22500 ÷ 131072     		y = 0.171661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.71856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25744448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171661376953125 × 2 - 1) × π
    0.65667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06301241204874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25744448} λ = -2.25744448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06301241204874))-π/2
    2×atan(7.86964073970512)-π/2
    2×1.44440310620366-π/2
    2.88880621240733-1.57079632675     		φ = 1.31800989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25744448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.342041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31800989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.516404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18444 KachelY 22500 -2.25744448 1.31800989 -129.342041 75.516404
    Oben rechts KachelX + 1 18445 KachelY 22500 -2.25739654 1.31800989 -129.339294 75.516404
    Unten links KachelX 18444 KachelY + 1 22501 -2.25744448 1.31799790 -129.342041 75.515717
    Unten rechts KachelX + 1 18445 KachelY + 1 22501 -2.25739654 1.31799790 -129.339294 75.515717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31800989-1.31799790) × R
    1.19899999999618e-05 × 6371000     		dl = 76.3882899997563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31800989-1.31799790) × R
    1.19899999999618e-05 × 6371000     		dr = 76.3882899997563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25744448--2.25739654) × cos(1.31800989) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.250102808533748 × 6371000     		do = 76.3878353731559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25744448--2.25739654) × cos(1.31799790) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.250114417465006 × 6371000     		du = 76.3913810395758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31800989)-sin(1.31799790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250102808533748-0.250114417465006)×R²
    abs(-2.25739654--2.25744448)×1.16089312575673e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.16089312575673e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.16089312575673e-05×40589641000000     		ar = 5835.27154460643m²