Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18444 / 18413
↖ ↑ ↗
← S 21.749296°
E 22.631836°		 ← 1 134.68 m → S 21.749296°
E 22.642822°		 →
↑
1 134.61 m
↓
↑
1 134.61 m
↓
S 21.759500°
E 22.631836°		 ← 1 134.60 m →
1 287 370 m²		 S 21.759500°
E 22.642822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562881469726562 y=0.561935424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562881469726562 × 215)
    floor (0.562881469726562 × 32768)
    floor (18444.5)     		tx = 18444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561935424804688 × 215)
    floor (0.561935424804688 × 32768)
    floor (18413.5)     		ty = 18413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18444 / 18413 ti = "15/18444/18413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18444/18413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18444 ÷ 215
    18444 ÷ 32768     		x = 0.5628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18413 ÷ 215
    18413 ÷ 32768     		y = 0.561920166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5628662109375 × 2 - 1) × π
    0.125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39500005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561920166015625 × 2 - 1) × π
    -0.12384033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.389055877316376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39500005} λ = 0.39500005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389055877316376))-π/2
    2×atan(0.677696401099763)-π/2
    2×0.595599752231977-π/2
    1.19119950446395-1.57079632675     		φ = -0.37959682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39500005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.631836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37959682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.749296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18444 KachelY 18413 0.39500005 -0.37959682 22.631836 -21.749296
    Oben rechts KachelX + 1 18445 KachelY 18413 0.39519180 -0.37959682 22.642822 -21.749296
    Unten links KachelX 18444 KachelY + 1 18414 0.39500005 -0.37977491 22.631836 -21.759500
    Unten rechts KachelX + 1 18445 KachelY + 1 18414 0.39519180 -0.37977491 22.642822 -21.759500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37959682--0.37977491) × R
    0.00017809000000002 × 6371000     		dl = 1134.61139000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37959682--0.37977491) × R
    0.00017809000000002 × 6371000     		dr = 1134.61139000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39500005-0.39519180) × cos(-0.37959682) × R
    0.000191749999999991 × 0.92881410780819 × 6371000     		do = 1134.67577005216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39500005-0.39519180) × cos(-0.37977491) × R
    0.000191749999999991 × 0.928748102538633 × 6371000     		du = 1134.59513542416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37959682)-sin(-0.37977491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92881410780819-0.928748102538633)×R²
    abs(0.39519180-0.39500005)×6.60052695571345e-05×R²
    0.000191749999999991×6.60052695571345e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.60052695571345e-05×40589641000000     		ar = 1287370.3115771m²