Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18444 / 15333
↖ ↑ ↗
← N 11.469258°
E 22.631836°		 ← 1 197.24 m → N 11.469258°
E 22.642822°		 →
↑
1 197.24 m
↓
↑
1 197.24 m
↓
N 11.458491°
E 22.631836°		 ← 1 197.29 m →
1 433 415 m²		 N 11.458491°
E 22.642822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562881469726562 y=0.467941284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562881469726562 × 215)
    floor (0.562881469726562 × 32768)
    floor (18444.5)     		tx = 18444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467941284179688 × 215)
    floor (0.467941284179688 × 32768)
    floor (15333.5)     		ty = 15333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18444 / 15333 ti = "15/18444/15333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18444/15333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18444 ÷ 215
    18444 ÷ 32768     		x = 0.5628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15333 ÷ 215
    15333 ÷ 32768     		y = 0.467926025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5628662109375 × 2 - 1) × π
    0.125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39500005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467926025390625 × 2 - 1) × π
    0.06414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.201526726002716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39500005} λ = 0.39500005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201526726002716))-π/2
    2×atan(1.22326892971467)-π/2
    2×0.885486320003478-π/2
    1.77097264000696-1.57079632675     		φ = 0.20017631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39500005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.631836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20017631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.469258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18444 KachelY 15333 0.39500005 0.20017631 22.631836 11.469258
    Oben rechts KachelX + 1 18445 KachelY 15333 0.39519180 0.20017631 22.642822 11.469258
    Unten links KachelX 18444 KachelY + 1 15334 0.39500005 0.19998839 22.631836 11.458491
    Unten rechts KachelX + 1 18445 KachelY + 1 15334 0.39519180 0.19998839 22.642822 11.458491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20017631-0.19998839) × R
    0.000187920000000008 × 6371000     		dl = 1197.23832000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20017631-0.19998839) × R
    0.000187920000000008 × 6371000     		dr = 1197.23832000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39500005-0.39519180) × cos(0.20017631) × R
    0.000191749999999991 × 0.98003153521892 × 6371000     		do = 1197.24498966113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39500005-0.39519180) × cos(0.19998839) × R
    0.000191749999999991 × 0.980068884326119 × 6371000     		du = 1197.29061679644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20017631)-sin(0.19998839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98003153521892-0.980068884326119)×R²
    abs(0.39519180-0.39500005)×3.73491071995469e-05×R²
    0.000191749999999991×3.73491071995469e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.73491071995469e-05×40589641000000     		ar = 1433414.89754603m²