Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18442 / 34442
↖ ↑ ↗
← S  9.156333°
W 78.695068°		 ← 603.07 m → S  9.156333°
W 78.689575°		 →
↑
603.02 m
↓
↑
603.02 m
↓
S  9.161756°
W 78.695068°		 ← 603.06 m →
363 656 m²		 S  9.161756°
W 78.689575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281410217285156 y=0.525550842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281410217285156 × 216)
    floor (0.281410217285156 × 65536)
    floor (18442.5)     		tx = 18442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525550842285156 × 216)
    floor (0.525550842285156 × 65536)
    floor (34442.5)     		ty = 34442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18442 / 34442 ti = "16/18442/34442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18442/34442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18442 ÷ 216
    18442 ÷ 65536     		x = 0.281402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34442 ÷ 216
    34442 ÷ 65536     		y = 0.525543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.43719482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37348805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.05108642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.160492739927948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37348805} λ = -1.37348805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160492739927948))-π/2
    2×atan(0.851724007127165)-π/2
    2×0.705494088109524-π/2
    1.41098817621905-1.57079632675     		φ = -0.15980815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37348805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.695068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15980815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.156333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18442 KachelY 34442 -1.37348805 -0.15980815 -78.695068 -9.156333
    Oben rechts KachelX + 1 18443 KachelY 34442 -1.37339217 -0.15980815 -78.689575 -9.156333
    Unten links KachelX 18442 KachelY + 1 34443 -1.37348805 -0.15990280 -78.695068 -9.161756
    Unten rechts KachelX + 1 18443 KachelY + 1 34443 -1.37339217 -0.15990280 -78.689575 -9.161756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15980815--0.15990280) × R
    9.46500000000017e-05 × 6371000     		dl = 603.015150000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15980815--0.15990280) × R
    9.46500000000017e-05 × 6371000     		dr = 603.015150000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37348805--1.37339217) × cos(-0.15980815) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987257830405226 × 6371000     		do = 603.067906844226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37348805--1.37339217) × cos(-0.15990280) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987242764441703 × 6371000     		du = 603.05870377811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15980815)-sin(-0.15990280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987257830405226-0.987242764441703)×R²
    abs(-1.37339217--1.37348805)×1.50659635234085e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50659635234085e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50659635234085e-05×40589641000000     		ar = 363656.309783179m²