Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18442 / 34440
↖ ↑ ↗
← S  9.145486°
W 78.695068°		 ← 603.09 m → S  9.145486°
W 78.689575°		 →
↑
603.08 m
↓
↑
603.08 m
↓
S  9.150909°
W 78.695068°		 ← 603.08 m →
363 706 m²		 S  9.150909°
W 78.689575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281410217285156 y=0.525520324707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281410217285156 × 216)
    floor (0.281410217285156 × 65536)
    floor (18442.5)     		tx = 18442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525520324707031 × 216)
    floor (0.525520324707031 × 65536)
    floor (34440.5)     		ty = 34440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18442 / 34440 ti = "16/18442/34440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18442/34440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18442 ÷ 216
    18442 ÷ 65536     		x = 0.281402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34440 ÷ 216
    34440 ÷ 65536     		y = 0.5255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.43719482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37348805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.051025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.160300992329468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37348805} λ = -1.37348805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160300992329468))-π/2
    2×atan(0.851887338818829)-π/2
    2×0.705588741712035-π/2
    1.41117748342407-1.57079632675     		φ = -0.15961884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37348805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.695068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15961884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.145486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18442 KachelY 34440 -1.37348805 -0.15961884 -78.695068 -9.145486
    Oben rechts KachelX + 1 18443 KachelY 34440 -1.37339217 -0.15961884 -78.689575 -9.145486
    Unten links KachelX 18442 KachelY + 1 34441 -1.37348805 -0.15971350 -78.695068 -9.150909
    Unten rechts KachelX + 1 18443 KachelY + 1 34441 -1.37339217 -0.15971350 -78.689575 -9.150909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15961884--0.15971350) × R
    9.46599999999964e-05 × 6371000     		dl = 603.078859999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15961884--0.15971350) × R
    9.46599999999964e-05 × 6371000     		dr = 603.078859999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37348805--1.37339217) × cos(-0.15961884) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987287937388147 × 6371000     		do = 603.086297739301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37348805--1.37339217) × cos(-0.15971350) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987272887524279 × 6371000     		du = 603.077104507684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15961884)-sin(-0.15971350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987287937388147-0.987272887524279)×R²
    abs(-1.37339217--1.37348805)×1.50498638672447e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50498638672447e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50498638672447e-05×40589641000000     		ar = 363705.825071986m²