Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18441 / 34439
↖ ↑ ↗
← S  9.140063°
W 78.700561°		 ← 603.03 m → S  9.140063°
W 78.695068°		 →
↑
603.02 m
↓
↑
603.02 m
↓
S  9.145486°
W 78.700561°		 ← 603.02 m →
363 635 m²		 S  9.145486°
W 78.695068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281394958496094 y=0.525505065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281394958496094 × 216)
    floor (0.281394958496094 × 65536)
    floor (18441.5)     		tx = 18441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525505065917969 × 216)
    floor (0.525505065917969 × 65536)
    floor (34439.5)     		ty = 34439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18441 / 34439 ti = "16/18441/34439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18441/34439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18441 ÷ 216
    18441 ÷ 65536     		x = 0.281387329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34439 ÷ 216
    34439 ÷ 65536     		y = 0.525497436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281387329101562 × 2 - 1) × π
    -0.437225341796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37358392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525497436523438 × 2 - 1) × π
    -0.050994873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.160205118530228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37358392} λ = -1.37358392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160205118530228))-π/2
    2×atan(0.851969016409834)-π/2
    2×0.705636069595288-π/2
    1.41127213919058-1.57079632675     		φ = -0.15952419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37358392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.700561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15952419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.140063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18441 KachelY 34439 -1.37358392 -0.15952419 -78.700561 -9.140063
    Oben rechts KachelX + 1 18442 KachelY 34439 -1.37348805 -0.15952419 -78.695068 -9.140063
    Unten links KachelX 18441 KachelY + 1 34440 -1.37358392 -0.15961884 -78.700561 -9.145486
    Unten rechts KachelX + 1 18442 KachelY + 1 34440 -1.37348805 -0.15961884 -78.695068 -9.145486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15952419--0.15961884) × R
    9.46500000000017e-05 × 6371000     		dl = 603.015150000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15952419--0.15961884) × R
    9.46500000000017e-05 × 6371000     		dr = 603.015150000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37358392--1.37348805) × cos(-0.15952419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98730297681692 × 6371000     		do = 603.032583524355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37358392--1.37348805) × cos(-0.15961884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987287937388147 × 6371000     		du = 603.023397625193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15952419)-sin(-0.15961884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98730297681692-0.987287937388147)×R²
    abs(-1.37348805--1.37358392)×1.50394287736777e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50394287736777e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50394287736777e-05×40589641000000     		ar = 363635.014462153m²