Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18440 / 34444
↖ ↑ ↗
← S  9.167179°
W 78.706055°		 ← 603.05 m → S  9.167179°
W 78.700561°		 →
↑
603.02 m
↓
↑
603.02 m
↓
S  9.172602°
W 78.706055°		 ← 603.04 m →
363 645 m²		 S  9.172602°
W 78.700561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281379699707031 y=0.525581359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281379699707031 × 216)
    floor (0.281379699707031 × 65536)
    floor (18440.5)     		tx = 18440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525581359863281 × 216)
    floor (0.525581359863281 × 65536)
    floor (34444.5)     		ty = 34444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18440 / 34444 ti = "16/18440/34444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18440/34444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18440 ÷ 216
    18440 ÷ 65536     		x = 0.2813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34444 ÷ 216
    34444 ÷ 65536     		y = 0.52557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37367980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.160684487526428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37367980} λ = -1.37367980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160684487526428))-π/2
    2×atan(0.851560706750958)-π/2
    2×0.705399437395093-π/2
    1.41079887479019-1.57079632675     		φ = -0.15999745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37367980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15999745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.167179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18440 KachelY 34444 -1.37367980 -0.15999745 -78.706055 -9.167179
    Oben rechts KachelX + 1 18441 KachelY 34444 -1.37358392 -0.15999745 -78.700561 -9.167179
    Unten links KachelX 18440 KachelY + 1 34445 -1.37367980 -0.16009210 -78.706055 -9.172602
    Unten rechts KachelX + 1 18441 KachelY + 1 34445 -1.37358392 -0.16009210 -78.700561 -9.172602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15999745--0.16009210) × R
    9.46499999999739e-05 × 6371000     		dl = 603.015149999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15999745--0.16009210) × R
    9.46499999999739e-05 × 6371000     		dr = 603.015149999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37367980--1.37358392) × cos(-0.15999745) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987227689633844 × 6371000     		do = 603.049495309419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37367980--1.37358392) × cos(-0.16009210) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987212605981785 × 6371000     		du = 603.040281438235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15999745)-sin(-0.16009210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987227689633844-0.987212605981785)×R²
    abs(-1.37358392--1.37367980)×1.50836520588227e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50836520588227e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50836520588227e-05×40589641000000     		ar = 363645.20409087m²