Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18440 / 10248
↖ ↑ ↗
← N 76.830808°
W 78.706055°		 ← 139.17 m → N 76.830808°
W 78.700561°		 →
↑
139.14 m
↓
↑
139.14 m
↓
N 76.829557°
W 78.706055°		 ← 139.18 m →
19 365 m²		 N 76.829557°
W 78.700561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281379699707031 y=0.156379699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281379699707031 × 216)
    floor (0.281379699707031 × 65536)
    floor (18440.5)     		tx = 18440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156379699707031 × 216)
    floor (0.156379699707031 × 65536)
    floor (10248.5)     		ty = 10248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18440 / 10248 ti = "16/18440/10248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18440/10248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18440 ÷ 216
    18440 ÷ 65536     		x = 0.2813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10248 ÷ 216
    10248 ÷ 65536     		y = 0.1563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37367980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1563720703125 × 2 - 1) × π
    0.687255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15907795888733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37367980} λ = -1.37367980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15907795888733))-π/2
    2×atan(8.66314619784251)-π/2
    2×1.45587344849366-π/2
    2.91174689698732-1.57079632675     		φ = 1.34095057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37367980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34095057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.830808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18440 KachelY 10248 -1.37367980 1.34095057 -78.706055 76.830808
    Oben rechts KachelX + 1 18441 KachelY 10248 -1.37358392 1.34095057 -78.700561 76.830808
    Unten links KachelX 18440 KachelY + 1 10249 -1.37367980 1.34092873 -78.706055 76.829557
    Unten rechts KachelX + 1 18441 KachelY + 1 10249 -1.37358392 1.34092873 -78.700561 76.829557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34095057-1.34092873) × R
    2.18400000000507e-05 × 6371000     		dl = 139.142640000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34095057-1.34092873) × R
    2.18400000000507e-05 × 6371000     		dr = 139.142640000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37367980--1.37358392) × cos(1.34095057) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.227827339398414 × 6371000     		do = 139.168667455892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37367980--1.37358392) × cos(1.34092873) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.227848604985873 × 6371000     		du = 139.181657571464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34095057)-sin(1.34092873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227827339398414-0.227848604985873)×R²
    abs(-1.37358392--1.37367980)×2.12655874585466e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.12655874585466e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.12655874585466e-05×40589641000000     		ar = 19365.1995353841m²