Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18439 / 34445
↖ ↑ ↗
← S  9.172602°
W 78.711548°		 ← 602.98 m → S  9.172602°
W 78.706055°		 →
↑
603.02 m
↓
↑
603.02 m
↓
S  9.178025°
W 78.711548°		 ← 602.97 m →
363 602 m²		 S  9.178025°
W 78.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281364440917969 y=0.525596618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281364440917969 × 216)
    floor (0.281364440917969 × 65536)
    floor (18439.5)     		tx = 18439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525596618652344 × 216)
    floor (0.525596618652344 × 65536)
    floor (34445.5)     		ty = 34445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18439 / 34445 ti = "16/18439/34445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18439/34445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18439 ÷ 216
    18439 ÷ 65536     		x = 0.281356811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34445 ÷ 216
    34445 ÷ 65536     		y = 0.525588989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281356811523438 × 2 - 1) × π
    -0.437286376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.37377567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525588989257812 × 2 - 1) × π
    -0.051177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.160780361325668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37377567} λ = -1.37377567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160780361325668))-π/2
    2×atan(0.851479068304275)-π/2
    2×0.70535211312194-π/2
    1.41070422624388-1.57079632675     		φ = -0.16009210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37377567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.711548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16009210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.172602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18439 KachelY 34445 -1.37377567 -0.16009210 -78.711548 -9.172602
    Oben rechts KachelX + 1 18440 KachelY 34445 -1.37367980 -0.16009210 -78.706055 -9.172602
    Unten links KachelX 18439 KachelY + 1 34446 -1.37377567 -0.16018675 -78.711548 -9.178025
    Unten rechts KachelX + 1 18440 KachelY + 1 34446 -1.37367980 -0.16018675 -78.706055 -9.178025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16009210--0.16018675) × R
    9.46500000000017e-05 × 6371000     		dl = 603.015150000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16009210--0.16018675) × R
    9.46500000000017e-05 × 6371000     		dr = 603.015150000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37377567--1.37367980) × cos(-0.16009210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987212605981785 × 6371000     		do = 602.97738612349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37377567--1.37367980) × cos(-0.16018675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987197513485661 × 6371000     		du = 602.968167811439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16009210)-sin(-0.16018675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987212605981785-0.987197513485661)×R²
    abs(-1.37367980--1.37377567)×1.50924961239696e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50924961239696e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50924961239696e-05×40589641000000     		ar = 363601.719820348m²