Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18439 / 18423
↖ ↑ ↗
← S 21.851302°
E 22.576904°		 ← 1 133.87 m → S 21.851302°
E 22.587890°		 →
↑
1 133.78 m
↓
↑
1 133.78 m
↓
S 21.861499°
E 22.576904°		 ← 1 133.79 m →
1 285 515 m²		 S 21.861499°
E 22.587890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562728881835938 y=0.562240600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562728881835938 × 215)
    floor (0.562728881835938 × 32768)
    floor (18439.5)     		tx = 18439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562240600585938 × 215)
    floor (0.562240600585938 × 32768)
    floor (18423.5)     		ty = 18423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18439 / 18423 ti = "15/18439/18423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18439/18423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18439 ÷ 215
    18439 ÷ 32768     		x = 0.562713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18423 ÷ 215
    18423 ÷ 32768     		y = 0.562225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562713623046875 × 2 - 1) × π
    0.12542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39404131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.12445068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.390973353301178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39404131} λ = 0.39404131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.390973353301178))-π/2
    2×atan(0.676398179577729)-π/2
    2×0.59470957960738-π/2
    1.18941915921476-1.57079632675     		φ = -0.38137717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39404131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.576904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38137717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.851302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18439 KachelY 18423 0.39404131 -0.38137717 22.576904 -21.851302
    Oben rechts KachelX + 1 18440 KachelY 18423 0.39423306 -0.38137717 22.587890 -21.851302
    Unten links KachelX 18439 KachelY + 1 18424 0.39404131 -0.38155513 22.576904 -21.861499
    Unten rechts KachelX + 1 18440 KachelY + 1 18424 0.39423306 -0.38155513 22.587890 -21.861499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38137717--0.38155513) × R
    0.000177960000000033 × 6371000     		dl = 1133.78316000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38137717--0.38155513) × R
    0.000177960000000033 × 6371000     		dr = 1133.78316000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39404131-0.39423306) × cos(-0.38137717) × R
    0.000191750000000046 × 0.92815293454388 × 6371000     		do = 1133.86805484176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39404131-0.39423306) × cos(-0.38155513) × R
    0.000191750000000046 × 0.928086683304752 × 6371000     		du = 1133.78711972768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38137717)-sin(-0.38155513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92815293454388-0.928086683304752)×R²
    abs(0.39423306-0.39404131)×6.62512391284009e-05×R²
    0.000191750000000046×6.62512391284009e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.62512391284009e-05×40589641000000     		ar = 1285514.62819965m²