Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18436 / 15240
↖ ↑ ↗
← N 12.468760°
E 22.543945°		 ← 1 192.83 m → N 12.468760°
E 22.554932°		 →
↑
1 192.84 m
↓
↑
1 192.84 m
↓
N 12.458033°
E 22.543945°		 ← 1 192.87 m →
1 422 882 m²		 N 12.458033°
E 22.554932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562637329101562 y=0.465103149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562637329101562 × 215)
    floor (0.562637329101562 × 32768)
    floor (18436.5)     		tx = 18436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465103149414062 × 215)
    floor (0.465103149414062 × 32768)
    floor (15240.5)     		ty = 15240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18436 / 15240 ti = "15/18436/15240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18436/15240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18436 ÷ 215
    18436 ÷ 32768     		x = 0.5626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15240 ÷ 215
    15240 ÷ 32768     		y = 0.465087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5626220703125 × 2 - 1) × π
    0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465087890625 × 2 - 1) × π
    0.06982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.219359252661377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39346607} λ = 0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.219359252661377))-π/2
    2×atan(1.24527856597677)-π/2
    2×0.894208622478692-π/2
    1.78841724495738-1.57079632675     		φ = 0.21762092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21762092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.468760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18436 KachelY 15240 0.39346607 0.21762092 22.543945 12.468760
    Oben rechts KachelX + 1 18437 KachelY 15240 0.39365782 0.21762092 22.554932 12.468760
    Unten links KachelX 18436 KachelY + 1 15241 0.39346607 0.21743369 22.543945 12.458033
    Unten rechts KachelX + 1 18437 KachelY + 1 15241 0.39365782 0.21743369 22.554932 12.458033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21762092-0.21743369) × R
    0.000187229999999983 × 6371000     		dl = 1192.84232999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21762092-0.21743369) × R
    0.000187229999999983 × 6371000     		dr = 1192.84232999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39346607-0.39365782) × cos(0.21762092) × R
    0.000191749999999991 × 0.976413872773476 × 6371000     		do = 1192.82551122453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39346607-0.39365782) × cos(0.21743369) × R
    0.000191749999999991 × 0.976454279977193 × 6371000     		du = 1192.87487425057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21762092)-sin(0.21743369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976413872773476-0.976454279977193)×R²
    abs(0.39365782-0.39346607)×4.04072037167857e-05×R²
    0.000191749999999991×4.04072037167857e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.04072037167857e-05×40589641000000     		ar = 1422882.20740254m²