Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18435 / 22537
↖ ↑ ↗
← N 75.490966°
W129.366760°		 ← 76.52 m → N 75.490966°
W129.364014°		 →
↑
76.52 m
↓
↑
76.52 m
↓
N 75.490278°
W129.366760°		 ← 76.52 m →
5 855 m²		 N 75.490278°
W129.364014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140651702880859 y=0.171947479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140651702880859 × 217)
    floor (0.140651702880859 × 131072)
    floor (18435.5)     		tx = 18435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171947479248047 × 217)
    floor (0.171947479248047 × 131072)
    floor (22537.5)     		ty = 22537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18435 / 22537 ti = "17/18435/22537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18435/22537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18435 ÷ 217
    18435 ÷ 131072     		x = 0.140647888183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22537 ÷ 217
    22537 ÷ 131072     		y = 0.171943664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140647888183594 × 2 - 1) × π
    -0.718704223632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.25787591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171943664550781 × 2 - 1) × π
    0.656112670898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.06123874676279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25787591} λ = -2.25787591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06123874676279))-π/2
    2×atan(7.85569500230341)-π/2
    2×1.44418111631575-π/2
    2.88836223263151-1.57079632675     		φ = 1.31756591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25787591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.366760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31756591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.490966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18435 KachelY 22537 -2.25787591 1.31756591 -129.366760 75.490966
    Oben rechts KachelX + 1 18436 KachelY 22537 -2.25782797 1.31756591 -129.364014 75.490966
    Unten links KachelX 18435 KachelY + 1 22538 -2.25787591 1.31755390 -129.366760 75.490278
    Unten rechts KachelX + 1 18436 KachelY + 1 22538 -2.25782797 1.31755390 -129.364014 75.490278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31756591-1.31755390) × R
    1.20099999998402e-05 × 6371000     		dl = 76.5157099989819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31756591-1.31755390) × R
    1.20099999998402e-05 × 6371000     		dr = 76.5157099989819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25787591--2.25782797) × cos(1.31756591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.25053265386817 × 6371000     		do = 76.5191212017994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25787591--2.25782797) × cos(1.31755390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250544280828978 × 6371000     		du = 76.5226723749081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31756591)-sin(1.31755390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25053265386817-0.250544280828978)×R²
    abs(-2.25782797--2.25787591)×1.16269608079755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16269608079755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16269608079755e-05×40589641000000     		ar = 5855.05074746882m²