Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18435 / 15239
↖ ↑ ↗
← N 12.479487°
E 22.532959°		 ← 1 192.78 m → N 12.479487°
E 22.543945°		 →
↑
1 192.78 m
↓
↑
1 192.78 m
↓
N 12.468760°
E 22.532959°		 ← 1 192.83 m →
1 422 747 m²		 N 12.468760°
E 22.543945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562606811523438 y=0.465072631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562606811523438 × 215)
    floor (0.562606811523438 × 32768)
    floor (18435.5)     		tx = 18435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465072631835938 × 215)
    floor (0.465072631835938 × 32768)
    floor (15239.5)     		ty = 15239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18435 / 15239 ti = "15/18435/15239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18435/15239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18435 ÷ 215
    18435 ÷ 32768     		x = 0.562591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15239 ÷ 215
    15239 ÷ 32768     		y = 0.465057373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562591552734375 × 2 - 1) × π
    0.12518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39327432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465057373046875 × 2 - 1) × π
    0.06988525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.219551000259857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39327432} λ = 0.39327432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.219551000259857))-π/2
    2×atan(1.24551736804536)-π/2
    2×0.894302233048059-π/2
    1.78860446609612-1.57079632675     		φ = 0.21780814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39327432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.532959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21780814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.479487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18435 KachelY 15239 0.39327432 0.21780814 22.532959 12.479487
    Oben rechts KachelX + 1 18436 KachelY 15239 0.39346607 0.21780814 22.543945 12.479487
    Unten links KachelX 18435 KachelY + 1 15240 0.39327432 0.21762092 22.532959 12.468760
    Unten rechts KachelX + 1 18436 KachelY + 1 15240 0.39346607 0.21762092 22.543945 12.468760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21780814-0.21762092) × R
    0.000187220000000016 × 6371000     		dl = 1192.7786200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21780814-0.21762092) × R
    0.000187220000000016 × 6371000     		dr = 1192.7786200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39327432-0.39346607) × cos(0.21780814) × R
    0.000191749999999991 × 0.976373433502401 × 6371000     		do = 1192.77610902374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39327432-0.39346607) × cos(0.21762092) × R
    0.000191749999999991 × 0.976413872773476 × 6371000     		du = 1192.82551122453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21780814)-sin(0.21762092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976373433502401-0.976413872773476)×R²
    abs(0.39346607-0.39327432)×4.04392710753321e-05×R²
    0.000191749999999991×4.04392710753321e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.04392710753321e-05×40589641000000     		ar = 1422747.30839053m²