Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18434 / 22540
↖ ↑ ↗
← N 75.488901°
W129.369507°		 ← 76.53 m → N 75.488901°
W129.366760°		 →
↑
76.52 m
↓
↑
76.52 m
↓
N 75.488213°
W129.369507°		 ← 76.53 m →
5 856 m²		 N 75.488213°
W129.366760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140644073486328 y=0.171970367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140644073486328 × 217)
    floor (0.140644073486328 × 131072)
    floor (18434.5)     		tx = 18434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171970367431641 × 217)
    floor (0.171970367431641 × 131072)
    floor (22540.5)     		ty = 22540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18434 / 22540 ti = "17/18434/22540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18434/22540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18434 ÷ 217
    18434 ÷ 131072     		x = 0.140640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22540 ÷ 217
    22540 ÷ 131072     		y = 0.171966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140640258789062 × 2 - 1) × π
    -0.718719482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25792385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171966552734375 × 2 - 1) × π
    0.65606689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06109493606393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25792385} λ = -2.25792385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06109493606393))-π/2
    2×atan(7.85456535054504)-π/2
    2×1.44416310042335-π/2
    2.8883262008467-1.57079632675     		φ = 1.31752987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25792385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.369507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31752987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.488901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18434 KachelY 22540 -2.25792385 1.31752987 -129.369507 75.488901
    Oben rechts KachelX + 1 18435 KachelY 22540 -2.25787591 1.31752987 -129.366760 75.488901
    Unten links KachelX 18434 KachelY + 1 22541 -2.25792385 1.31751786 -129.369507 75.488213
    Unten rechts KachelX + 1 18435 KachelY + 1 22541 -2.25787591 1.31751786 -129.366760 75.488213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31752987-1.31751786) × R
    1.20100000000622e-05 × 6371000     		dl = 76.5157100003966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31752987-1.31751786) × R
    1.20100000000622e-05 × 6371000     		dr = 76.5157100003966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25792385--2.25787591) × cos(1.31752987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250567544323168 × 6371000     		do = 76.5297776448362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25792385--2.25787591) × cos(1.31751786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250579171175525 × 6371000     		du = 76.5333287848213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31752987)-sin(1.31751786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250567544323168-0.250579171175525)×R²
    abs(-2.25787591--2.25792385)×1.16268523575047e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16268523575047e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16268523575047e-05×40589641000000     		ar = 5855.86613190628m²