Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18432 / 34446
↖ ↑ ↗
← S  9.178025°
W 78.750000°		 ← 603.03 m → S  9.178025°
W 78.744507°		 →
↑
602.95 m
↓
↑
602.95 m
↓
S  9.183447°
W 78.750000°		 ← 603.02 m →
363 596 m²		 S  9.183447°
W 78.744507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281257629394531 y=0.525611877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281257629394531 × 216)
    floor (0.281257629394531 × 65536)
    floor (18432.5)     		tx = 18432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525611877441406 × 216)
    floor (0.525611877441406 × 65536)
    floor (34446.5)     		ty = 34446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18432 / 34446 ti = "16/18432/34446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18432/34446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18432 ÷ 216
    18432 ÷ 65536     		x = 0.28125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34446 ÷ 216
    34446 ÷ 65536     		y = 0.525604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28125 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.05120849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.160876235124908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37444679} λ = -1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160876235124908))-π/2
    2×atan(0.851397437684204)-π/2
    2×0.705304789572046-π/2
    1.41060957914409-1.57079632675     		φ = -0.16018675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16018675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.178025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18432 KachelY 34446 -1.37444679 -0.16018675 -78.750000 -9.178025
    Oben rechts KachelX + 1 18433 KachelY 34446 -1.37435091 -0.16018675 -78.744507 -9.178025
    Unten links KachelX 18432 KachelY + 1 34447 -1.37444679 -0.16028139 -78.750000 -9.183447
    Unten rechts KachelX + 1 18433 KachelY + 1 34447 -1.37435091 -0.16028139 -78.744507 -9.183447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16018675--0.16028139) × R
    9.46400000000069e-05 × 6371000     		dl = 602.951440000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16018675--0.16028139) × R
    9.46400000000069e-05 × 6371000     		dr = 602.951440000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37444679--1.37435091) × cos(-0.16018675) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987197513485661 × 6371000     		do = 603.031062164641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37444679--1.37435091) × cos(-0.16028139) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987182413741568 × 6371000     		du = 603.021838463613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16018675)-sin(-0.16028139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987197513485661-0.987182413741568)×R²
    abs(-1.37435091--1.37444679)×1.50997440937495e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50997440937495e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50997440937495e-05×40589641000000     		ar = 363595.666846459m²