Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18431 / 22515
↖ ↑ ↗
← N 75.506097°
W129.377747°		 ← 76.44 m → N 75.506097°
W129.375000°		 →
↑
76.45 m
↓
↑
76.45 m
↓
N 75.505409°
W129.377747°		 ← 76.44 m →
5 844 m²		 N 75.505409°
W129.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140621185302734 y=0.171779632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140621185302734 × 217)
    floor (0.140621185302734 × 131072)
    floor (18431.5)     		tx = 18431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171779632568359 × 217)
    floor (0.171779632568359 × 131072)
    floor (22515.5)     		ty = 22515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18431 / 22515 ti = "17/18431/22515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18431/22515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18431 ÷ 217
    18431 ÷ 131072     		x = 0.140617370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22515 ÷ 217
    22515 ÷ 131072     		y = 0.171775817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140617370605469 × 2 - 1) × π
    -0.718765258789062 × 3.1415926535     		Λ = -2.25806766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171775817871094 × 2 - 1) × π
    0.656448364257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.06229335855444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25806766} λ = -2.25806766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06229335855444))-π/2
    2×atan(7.86398408099617)-π/2
    2×1.4443131562454-π/2
    2.88862631249081-1.57079632675     		φ = 1.31782999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25806766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.377747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31782999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.506097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18431 KachelY 22515 -2.25806766 1.31782999 -129.377747 75.506097
    Oben rechts KachelX + 1 18432 KachelY 22515 -2.25801972 1.31782999 -129.375000 75.506097
    Unten links KachelX 18431 KachelY + 1 22516 -2.25806766 1.31781799 -129.377747 75.505409
    Unten rechts KachelX + 1 18432 KachelY + 1 22516 -2.25801972 1.31781799 -129.375000 75.505409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31782999-1.31781799) × R
    1.1999999999901e-05 × 6371000     		dl = 76.4519999993691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31782999-1.31781799) × R
    1.1999999999901e-05 × 6371000     		dr = 76.4519999993691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25806766--2.25801972) × cos(1.31782999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250276987135138 × 6371000     		do = 76.4410340006698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25806766--2.25801972) × cos(1.31781799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250288605208436 × 6371000     		du = 76.4445824593041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31782999)-sin(1.31781799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250276987135138-0.250288605208436)×R²
    abs(-2.25801972--2.25806766)×1.16180732978588e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16180732978588e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16180732978588e-05×40589641000000     		ar = 5844.20557483437m²