Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18431 / 10251
↖ ↑ ↗
← N 76.827053°
W 78.755493°		 ← 139.19 m → N 76.827053°
W 78.750000°		 →
↑
139.21 m
↓
↑
139.21 m
↓
N 76.825801°
W 78.755493°		 ← 139.21 m →
19 377 m²		 N 76.825801°
W 78.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281242370605469 y=0.156425476074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281242370605469 × 216)
    floor (0.281242370605469 × 65536)
    floor (18431.5)     		tx = 18431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156425476074219 × 216)
    floor (0.156425476074219 × 65536)
    floor (10251.5)     		ty = 10251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18431 / 10251 ti = "16/18431/10251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18431/10251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18431 ÷ 216
    18431 ÷ 65536     		x = 0.281234741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10251 ÷ 216
    10251 ÷ 65536     		y = 0.156417846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281234741210938 × 2 - 1) × π
    -0.437530517578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.37454266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156417846679688 × 2 - 1) × π
    0.687164306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15879033748961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37454266} λ = -1.37454266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15879033748961))-π/2
    2×atan(8.66065484992409)-π/2
    2×1.45584067989648-π/2
    2.91168135979297-1.57079632675     		φ = 1.34088503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37454266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.755493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34088503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.827053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18431 KachelY 10251 -1.37454266 1.34088503 -78.755493 76.827053
    Oben rechts KachelX + 1 18432 KachelY 10251 -1.37444679 1.34088503 -78.750000 76.827053
    Unten links KachelX 18431 KachelY + 1 10252 -1.37454266 1.34086318 -78.755493 76.825801
    Unten rechts KachelX + 1 18432 KachelY + 1 10252 -1.37444679 1.34086318 -78.750000 76.825801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34088503-1.34086318) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dl = 139.206349999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34088503-1.34086318) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dr = 139.206349999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37454266--1.37444679) × cos(1.34088503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22789115530847 × 6371000     		do = 139.193130553581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37454266--1.37444679) × cos(1.34086318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227912430306574 × 6371000     		du = 139.206125062229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34088503)-sin(1.34086318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22789115530847-0.227912430306574)×R²
    abs(-1.37444679--1.37454266)×2.12749981033655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12749981033655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12749981033655e-05×40589641000000     		ar = 19377.47210914m²