Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18430 / 22542
↖ ↑ ↗
← N 75.487525°
W129.380493°		 ← 76.52 m → N 75.487525°
W129.377747°		 →
↑
76.52 m
↓
↑
76.52 m
↓
N 75.486837°
W129.380493°		 ← 76.52 m →
5 855 m²		 N 75.486837°
W129.377747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140613555908203 y=0.171985626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140613555908203 × 217)
    floor (0.140613555908203 × 131072)
    floor (18430.5)     		tx = 18430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171985626220703 × 217)
    floor (0.171985626220703 × 131072)
    floor (22542.5)     		ty = 22542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18430 / 22542 ti = "17/18430/22542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18430/22542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18430 ÷ 217
    18430 ÷ 131072     		x = 0.140609741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22542 ÷ 217
    22542 ÷ 131072     		y = 0.171981811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140609741210938 × 2 - 1) × π
    -0.718780517578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25811559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171981811523438 × 2 - 1) × π
    0.656036376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06099906226469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25811559} λ = -2.25811559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06099906226469))-π/2
    2×atan(7.85381233962109)-π/2
    2×1.44415108843488-π/2
    2.88830217686976-1.57079632675     		φ = 1.31750585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25811559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.380493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31750585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.487525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18430 KachelY 22542 -2.25811559 1.31750585 -129.380493 75.487525
    Oben rechts KachelX + 1 18431 KachelY 22542 -2.25806766 1.31750585 -129.377747 75.487525
    Unten links KachelX 18430 KachelY + 1 22543 -2.25811559 1.31749384 -129.380493 75.486837
    Unten rechts KachelX + 1 18431 KachelY + 1 22543 -2.25806766 1.31749384 -129.377747 75.486837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31750585-1.31749384) × R
    1.20100000000622e-05 × 6371000     		dl = 76.5157100003966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31750585-1.31749384) × R
    1.20100000000622e-05 × 6371000     		dr = 76.5157100003966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25811559--2.25806766) × cos(1.31750585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250590797991739 × 6371000     		do = 76.5209147741242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25811559--2.25806766) × cos(1.31749384) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250602424771808 × 6371000     		du = 76.5244651512884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31750585)-sin(1.31749384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250590797991739-0.250602424771808)×R²
    abs(-2.25806766--2.25811559)×1.16267800686631e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16267800686631e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16267800686631e-05×40589641000000     		ar = 5855.18795372403m²