Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18430 / 22509
↖ ↑ ↗
← N 75.510220°
W129.380493°		 ← 76.40 m → N 75.510220°
W129.377747°		 →
↑
76.39 m
↓
↑
76.39 m
↓
N 75.509533°
W129.380493°		 ← 76.41 m →
5 836 m²		 N 75.509533°
W129.377747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140613555908203 y=0.171733856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140613555908203 × 217)
    floor (0.140613555908203 × 131072)
    floor (18430.5)     		tx = 18430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171733856201172 × 217)
    floor (0.171733856201172 × 131072)
    floor (22509.5)     		ty = 22509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18430 / 22509 ti = "17/18430/22509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18430/22509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18430 ÷ 217
    18430 ÷ 131072     		x = 0.140609741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22509 ÷ 217
    22509 ÷ 131072     		y = 0.171730041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140609741210938 × 2 - 1) × π
    -0.718780517578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25811559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171730041503906 × 2 - 1) × π
    0.656539916992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.06258097995216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25811559} λ = -2.25811559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06258097995216))-π/2
    2×atan(7.86624625639863)-π/2
    2×1.44434914374349-π/2
    2.88869828748698-1.57079632675     		φ = 1.31790196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25811559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.380493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31790196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.510220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18430 KachelY 22509 -2.25811559 1.31790196 -129.380493 75.510220
    Oben rechts KachelX + 1 18431 KachelY 22509 -2.25806766 1.31790196 -129.377747 75.510220
    Unten links KachelX 18430 KachelY + 1 22510 -2.25811559 1.31788997 -129.380493 75.509533
    Unten rechts KachelX + 1 18431 KachelY + 1 22510 -2.25806766 1.31788997 -129.377747 75.509533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31790196-1.31788997) × R
    1.19899999999618e-05 × 6371000     		dl = 76.3882899997563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31790196-1.31788997) × R
    1.19899999999618e-05 × 6371000     		dr = 76.3882899997563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25811559--2.25806766) × cos(1.31790196) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250207306984339 × 6371000     		do = 76.4038111816178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25811559--2.25806766) × cos(1.31788997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250218915591869 × 6371000     		du = 76.4073560095784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31790196)-sin(1.31788997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250207306984339-0.250218915591869)×R²
    abs(-2.25806766--2.25811559)×1.16086075292454e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16086075292454e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16086075292454e-05×40589641000000     		ar = 5836.49187737327m²