Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18429 / 22552
↖ ↑ ↗
← N 75.480641°
W129.383240°		 ← 76.57 m → N 75.480641°
W129.380493°		 →
↑
76.58 m
↓
↑
76.58 m
↓
N 75.479952°
W129.383240°		 ← 76.58 m →
5 864 m²		 N 75.479952°
W129.380493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140605926513672 y=0.172061920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140605926513672 × 217)
    floor (0.140605926513672 × 131072)
    floor (18429.5)     		tx = 18429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172061920166016 × 217)
    floor (0.172061920166016 × 131072)
    floor (22552.5)     		ty = 22552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18429 / 22552 ti = "17/18429/22552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18429/22552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18429 ÷ 217
    18429 ÷ 131072     		x = 0.140602111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22552 ÷ 217
    22552 ÷ 131072     		y = 0.17205810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140602111816406 × 2 - 1) × π
    -0.718795776367188 × 3.1415926535     		Λ = -2.25816353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17205810546875 × 2 - 1) × π
    0.6558837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06051969326849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25816353} λ = -2.25816353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06051969326849))-π/2
    2×atan(7.85004836772129)-π/2
    2×1.44409101176647-π/2
    2.88818202353294-1.57079632675     		φ = 1.31738570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25816353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.383240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31738570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.480641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18429 KachelY 22552 -2.25816353 1.31738570 -129.383240 75.480641
    Oben rechts KachelX + 1 18430 KachelY 22552 -2.25811559 1.31738570 -129.380493 75.480641
    Unten links KachelX 18429 KachelY + 1 22553 -2.25816353 1.31737368 -129.383240 75.479952
    Unten rechts KachelX + 1 18430 KachelY + 1 22553 -2.25811559 1.31737368 -129.380493 75.479952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31738570-1.31737368) × R
    1.20200000000015e-05 × 6371000     		dl = 76.5794200000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31738570-1.31737368) × R
    1.20200000000015e-05 × 6371000     		dr = 76.5794200000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25816353--2.25811559) × cos(1.31738570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250707112568762 × 6371000     		do = 76.5724053795273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25816353--2.25811559) × cos(1.31737368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250718748667735 × 6371000     		du = 76.5759593436669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31738570)-sin(1.31737368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250707112568762-0.250718748667735)×R²
    abs(-2.25811559--2.25816353)×1.16360989731445e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16360989731445e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16360989731445e-05×40589641000000     		ar = 5864.00647238524m²