Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18429 / 22539
↖ ↑ ↗
← N 75.489590°
W129.383240°		 ← 76.53 m → N 75.489590°
W129.380493°		 →
↑
76.58 m
↓
↑
76.58 m
↓
N 75.488901°
W129.383240°		 ← 76.53 m →
5 860 m²		 N 75.488901°
W129.380493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140605926513672 y=0.171962738037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140605926513672 × 217)
    floor (0.140605926513672 × 131072)
    floor (18429.5)     		tx = 18429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171962738037109 × 217)
    floor (0.171962738037109 × 131072)
    floor (22539.5)     		ty = 22539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18429 / 22539 ti = "17/18429/22539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18429/22539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18429 ÷ 217
    18429 ÷ 131072     		x = 0.140602111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22539 ÷ 217
    22539 ÷ 131072     		y = 0.171958923339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140602111816406 × 2 - 1) × π
    -0.718795776367188 × 3.1415926535     		Λ = -2.25816353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171958923339844 × 2 - 1) × π
    0.656082153320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.06114287296355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25816353} λ = -2.25816353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06114287296355))-π/2
    2×atan(7.85494188308064)-π/2
    2×1.44416910599951-π/2
    2.88833821199903-1.57079632675     		φ = 1.31754189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25816353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.383240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31754189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.489590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18429 KachelY 22539 -2.25816353 1.31754189 -129.383240 75.489590
    Oben rechts KachelX + 1 18430 KachelY 22539 -2.25811559 1.31754189 -129.380493 75.489590
    Unten links KachelX 18429 KachelY + 1 22540 -2.25816353 1.31752987 -129.383240 75.488901
    Unten rechts KachelX + 1 18430 KachelY + 1 22540 -2.25811559 1.31752987 -129.380493 75.488901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31754189-1.31752987) × R
    1.20200000000015e-05 × 6371000     		dl = 76.5794200000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31754189-1.31752987) × R
    1.20200000000015e-05 × 6371000     		dr = 76.5794200000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25816353--2.25811559) × cos(1.31754189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250555907753647 × 6371000     		do = 76.5262235369793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25816353--2.25811559) × cos(1.31752987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250567544323168 × 6371000     		du = 76.5297776448362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31754189)-sin(1.31752987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250555907753647-0.250567544323168)×R²
    abs(-2.25811559--2.25816353)×1.16365695205789e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16365695205789e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16365695205789e-05×40589641000000     		ar = 5860.46989894269m²