Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18429 / 15263
↖ ↑ ↗
← N 12.221918°
E 22.467041°		 ← 1 193.95 m → N 12.221918°
E 22.478028°		 →
↑
1 193.99 m
↓
↑
1 193.99 m
↓
N 12.211180°
E 22.467041°		 ← 1 194 m →
1 425 593 m²		 N 12.211180°
E 22.478028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562423706054688 y=0.465805053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562423706054688 × 215)
    floor (0.562423706054688 × 32768)
    floor (18429.5)     		tx = 18429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465805053710938 × 215)
    floor (0.465805053710938 × 32768)
    floor (15263.5)     		ty = 15263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18429 / 15263 ti = "15/18429/15263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18429/15263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18429 ÷ 215
    18429 ÷ 32768     		x = 0.562408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15263 ÷ 215
    15263 ÷ 32768     		y = 0.465789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562408447265625 × 2 - 1) × π
    0.12481689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39212384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465789794921875 × 2 - 1) × π
    0.06842041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.214949057896332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39212384} λ = 0.39212384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.214949057896332))-π/2
    2×atan(1.23979873740153)-π/2
    2×0.892054516061719-π/2
    1.78410903212344-1.57079632675     		φ = 0.21331271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39212384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.467041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21331271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.221918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18429 KachelY 15263 0.39212384 0.21331271 22.467041 12.221918
    Oben rechts KachelX + 1 18430 KachelY 15263 0.39231559 0.21331271 22.478028 12.221918
    Unten links KachelX 18429 KachelY + 1 15264 0.39212384 0.21312530 22.467041 12.211180
    Unten rechts KachelX + 1 18430 KachelY + 1 15264 0.39231559 0.21312530 22.478028 12.211180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21331271-0.21312530) × R
    0.000187409999999999 × 6371000     		dl = 1193.98910999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21331271-0.21312530) × R
    0.000187409999999999 × 6371000     		dr = 1193.98910999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39212384-0.39231559) × cos(0.21331271) × R
    0.000191749999999991 × 0.97733498231841 × 6371000     		do = 1193.95077479817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39212384-0.39231559) × cos(0.21312530) × R
    0.000191749999999991 × 0.97737463960511 × 6371000     		du = 1193.99922169615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21331271)-sin(0.21312530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97733498231841-0.97737463960511)×R²
    abs(0.39231559-0.39212384)×3.96572867000788e-05×R²
    0.000191749999999991×3.96572867000788e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.96572867000788e-05×40589641000000     		ar = 1425593.14969203m²