Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18428 / 34757
↖ ↑ ↗
← N 64.238627°
W129.385986°		 ← 132.75 m → N 64.238627°
W129.383240°		 →
↑
132.71 m
↓
↑
132.71 m
↓
N 64.237433°
W129.385986°		 ← 132.75 m →
17 617 m²		 N 64.237433°
W129.383240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140598297119141 y=0.265178680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140598297119141 × 217)
    floor (0.140598297119141 × 131072)
    floor (18428.5)     		tx = 18428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265178680419922 × 217)
    floor (0.265178680419922 × 131072)
    floor (34757.5)     		ty = 34757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18428 / 34757 ti = "17/18428/34757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18428/34757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18428 ÷ 217
    18428 ÷ 131072     		x = 0.140594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34757 ÷ 217
    34757 ÷ 131072     		y = 0.265174865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.71881103515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25821147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265174865722656 × 2 - 1) × π
    0.469650268554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.47544983340571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25821147} λ = -2.25821147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47544983340571))-π/2
    2×atan(4.37300245314403)-π/2
    2×1.34598593534293-π/2
    2.69197187068586-1.57079632675     		φ = 1.12117554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25821147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.385986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12117554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.238627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18428 KachelY 34757 -2.25821147 1.12117554 -129.385986 64.238627
    Oben rechts KachelX + 1 18429 KachelY 34757 -2.25816353 1.12117554 -129.383240 64.238627
    Unten links KachelX 18428 KachelY + 1 34758 -2.25821147 1.12115471 -129.385986 64.237433
    Unten rechts KachelX + 1 18429 KachelY + 1 34758 -2.25816353 1.12115471 -129.383240 64.237433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12117554-1.12115471) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dl = 132.70792999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12117554-1.12115471) × R
    2.08299999999717e-05 × 6371000     		dr = 132.70792999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25821147--2.25816353) × cos(1.12117554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434624041413106 × 6371000     		do = 132.745369470301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25821147--2.25816353) × cos(1.12115471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434642801066406 × 6371000     		du = 132.751099151293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12117554)-sin(1.12115471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434624041413106-0.434642801066406)×R²
    abs(-2.25816353--2.25821147)×1.87596533002266e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87596533002266e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87596533002266e-05×40589641000000     		ar = 17616.7433870459m²