Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18428 / 22506
↖ ↑ ↗
← N 75.512282°
W129.385986°		 ← 76.41 m → N 75.512282°
W129.383240°		 →
↑
76.39 m
↓
↑
76.39 m
↓
N 75.511595°
W129.385986°		 ← 76.41 m →
5 837 m²		 N 75.511595°
W129.383240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140598297119141 y=0.171710968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140598297119141 × 217)
    floor (0.140598297119141 × 131072)
    floor (18428.5)     		tx = 18428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171710968017578 × 217)
    floor (0.171710968017578 × 131072)
    floor (22506.5)     		ty = 22506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18428 / 22506 ti = "17/18428/22506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18428/22506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18428 ÷ 217
    18428 ÷ 131072     		x = 0.140594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22506 ÷ 217
    22506 ÷ 131072     		y = 0.171707153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.71881103515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25821147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171707153320312 × 2 - 1) × π
    0.656585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06272479065102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25821147} λ = -2.25821147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06272479065102))-π/2
    2×atan(7.86737758811702)-π/2
    2×1.44436713373482-π/2
    2.88873426746964-1.57079632675     		φ = 1.31793794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25821147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.385986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31793794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.512282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18428 KachelY 22506 -2.25821147 1.31793794 -129.385986 75.512282
    Oben rechts KachelX + 1 18429 KachelY 22506 -2.25816353 1.31793794 -129.383240 75.512282
    Unten links KachelX 18428 KachelY + 1 22507 -2.25821147 1.31792595 -129.385986 75.511595
    Unten rechts KachelX + 1 18429 KachelY + 1 22507 -2.25816353 1.31792595 -129.383240 75.511595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31793794-1.31792595) × R
    1.19899999999618e-05 × 6371000     		dl = 76.3882899997563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31793794-1.31792595) × R
    1.19899999999618e-05 × 6371000     		dr = 76.3882899997563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25821147--2.25816353) × cos(1.31793794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250172471263926 × 6371000     		do = 76.4091121633633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25821147--2.25816353) × cos(1.31792595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.25018407997939 × 6371000     		du = 76.4126577638743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31793794)-sin(1.31792595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250172471263926-0.25018407997939)×R²
    abs(-2.25816353--2.25821147)×1.16087154637401e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16087154637401e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16087154637401e-05×40589641000000     		ar = 5836.89683975666m²