Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18428 / 18404
↖ ↑ ↗
← S 21.657428°
E 22.456055°		 ← 1 135.40 m → S 21.657428°
E 22.467041°		 →
↑
1 135.31 m
↓
↑
1 135.31 m
↓
S 21.667638°
E 22.456055°		 ← 1 135.32 m →
1 288 988 m²		 S 21.667638°
E 22.467041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562393188476562 y=0.561660766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562393188476562 × 215)
    floor (0.562393188476562 × 32768)
    floor (18428.5)     		tx = 18428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561660766601562 × 215)
    floor (0.561660766601562 × 32768)
    floor (18404.5)     		ty = 18404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18428 / 18404 ti = "15/18428/18404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18428/18404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18428 ÷ 215
    18428 ÷ 32768     		x = 0.5623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18404 ÷ 215
    18404 ÷ 32768     		y = 0.5616455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5623779296875 × 2 - 1) × π
    0.124755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39193209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.123291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.387330148930054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39193209} λ = 0.39193209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387330148930054))-π/2
    2×atan(0.678866930734058)-π/2
    2×0.596401448623404-π/2
    1.19280289724681-1.57079632675     		φ = -0.37799343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39193209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.456055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37799343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.657428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18428 KachelY 18404 0.39193209 -0.37799343 22.456055 -21.657428
    Oben rechts KachelX + 1 18429 KachelY 18404 0.39212384 -0.37799343 22.467041 -21.657428
    Unten links KachelX 18428 KachelY + 1 18405 0.39193209 -0.37817163 22.456055 -21.667638
    Unten rechts KachelX + 1 18429 KachelY + 1 18405 0.39212384 -0.37817163 22.467041 -21.667638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37799343--0.37817163) × R
    0.000178199999999962 × 6371000     		dl = 1135.31219999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37799343--0.37817163) × R
    0.000178199999999962 × 6371000     		dr = 1135.31219999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39193209-0.39212384) × cos(-0.37799343) × R
    0.000191749999999991 × 0.92940704341203 × 6371000     		do = 1135.40012345853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39193209-0.39212384) × cos(-0.37817163) × R
    0.000191749999999991 × 0.929341262824132 × 6371000     		du = 1135.31976331047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37799343)-sin(-0.37817163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92940704341203-0.929341262824132)×R²
    abs(0.39212384-0.39193209)×6.57805878974127e-05×R²
    0.000191749999999991×6.57805878974127e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.57805878974127e-05×40589641000000     		ar = 1288987.99852673m²