Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18428 / 14396
↖ ↑ ↗
← N 70.502908°
W 78.771973°		 ← 203.86 m → N 70.502908°
W 78.766480°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
N 70.501075°
W 78.771973°		 ← 203.87 m →
41 562 m²		 N 70.501075°
W 78.766480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281196594238281 y=0.219673156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281196594238281 × 216)
    floor (0.281196594238281 × 65536)
    floor (18428.5)     		tx = 18428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219673156738281 × 216)
    floor (0.219673156738281 × 65536)
    floor (14396.5)     		ty = 14396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18428 / 14396 ti = "16/18428/14396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18428/14396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18428 ÷ 216
    18428 ÷ 65536     		x = 0.28118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14396 ÷ 216
    14396 ÷ 65536     		y = 0.21966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.4376220703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.37483028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21966552734375 × 2 - 1) × π
    0.5606689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76139343963934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37483028} λ = -1.37483028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76139343963934))-π/2
    2×atan(5.82054232062046)-π/2
    2×1.40065210563187-π/2
    2.80130421126374-1.57079632675     		φ = 1.23050788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37483028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.771973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23050788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.502908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18428 KachelY 14396 -1.37483028 1.23050788 -78.771973 70.502908
    Oben rechts KachelX + 1 18429 KachelY 14396 -1.37473441 1.23050788 -78.766480 70.502908
    Unten links KachelX 18428 KachelY + 1 14397 -1.37483028 1.23047588 -78.771973 70.501075
    Unten rechts KachelX + 1 18429 KachelY + 1 14397 -1.37473441 1.23047588 -78.766480 70.501075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23050788-1.23047588) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23050788-1.23047588) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37483028--1.37473441) × cos(1.23050788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333759012825367 × 6371000     		do = 203.855923161003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37483028--1.37473441) × cos(1.23047588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333789177724334 × 6371000     		du = 203.874347512375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23050788)-sin(1.23047588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333759012825367-0.333789177724334)×R²
    abs(-1.37473441--1.37483028)×3.01648989671222e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01648989671222e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01648989671222e-05×40589641000000     		ar = 41562.3928749181m²