Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18426 / 15259
↖ ↑ ↗
← N 12.264863°
E 22.434082°		 ← 1 193.69 m → N 12.264863°
E 22.445068°		 →
↑
1 193.73 m
↓
↑
1 193.73 m
↓
N 12.254128°
E 22.434082°		 ← 1 193.74 m →
1 424 983 m²		 N 12.254128°
E 22.445068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562332153320312 y=0.465682983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562332153320312 × 215)
    floor (0.562332153320312 × 32768)
    floor (18426.5)     		tx = 18426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465682983398438 × 215)
    floor (0.465682983398438 × 32768)
    floor (15259.5)     		ty = 15259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18426 / 15259 ti = "15/18426/15259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18426/15259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18426 ÷ 215
    18426 ÷ 32768     		x = 0.56231689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15259 ÷ 215
    15259 ÷ 32768     		y = 0.465667724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56231689453125 × 2 - 1) × π
    0.1246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39154860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465667724609375 × 2 - 1) × π
    0.06866455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.215716048290253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39154860} λ = 0.39154860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215716048290253))-π/2
    2×atan(1.2407500158876)-π/2
    2×0.892429288871629-π/2
    1.78485857774326-1.57079632675     		φ = 0.21406225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39154860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.434082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21406225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.264863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18426 KachelY 15259 0.39154860 0.21406225 22.434082 12.264863
    Oben rechts KachelX + 1 18427 KachelY 15259 0.39174034 0.21406225 22.445068 12.264863
    Unten links KachelX 18426 KachelY + 1 15260 0.39154860 0.21387488 22.434082 12.254128
    Unten rechts KachelX + 1 18427 KachelY + 1 15260 0.39174034 0.21387488 22.445068 12.254128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21406225-0.21387488) × R
    0.00018737000000002 × 6371000     		dl = 1193.73427000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21406225-0.21387488) × R
    0.00018737000000002 × 6371000     		dr = 1193.73427000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39154860-0.39174034) × cos(0.21406225) × R
    0.000191739999999996 × 0.977176031164122 × 6371000     		do = 1193.69433794434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39154860-0.39174034) × cos(0.21387488) × R
    0.000191739999999996 × 0.97721581724004 × 6371000     		du = 1193.74293964152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21406225)-sin(0.21387488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977176031164122-0.97721581724004)×R²
    abs(0.39174034-0.39154860)×3.97860759178137e-05×R²
    0.000191739999999996×3.97860759178137e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.97860759178137e-05×40589641000000     		ar = 1424982.852034m²