Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18424 / 22440
↖ ↑ ↗
← N 75.557562°
W129.396972°		 ← 76.16 m → N 75.557562°
W129.394226°		 →
↑
76.13 m
↓
↑
76.13 m
↓
N 75.556877°
W129.396972°		 ← 76.16 m →
5 798 m²		 N 75.556877°
W129.394226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140567779541016 y=0.171207427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140567779541016 × 217)
    floor (0.140567779541016 × 131072)
    floor (18424.5)     		tx = 18424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171207427978516 × 217)
    floor (0.171207427978516 × 131072)
    floor (22440.5)     		ty = 22440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18424 / 22440 ti = "17/18424/22440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18424/22440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18424 ÷ 217
    18424 ÷ 131072     		x = 0.14056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22440 ÷ 217
    22440 ÷ 131072     		y = 0.17120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.7188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25840321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17120361328125 × 2 - 1) × π
    0.6575927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06588862602594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25840321} λ = -2.25840321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06588862602594))-π/2
    2×atan(7.89230809284869)-π/2
    2×1.44476228042828-π/2
    2.88952456085656-1.57079632675     		φ = 1.31872823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25840321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.396972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31872823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.557562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18424 KachelY 22440 -2.25840321 1.31872823 -129.396972 75.557562
    Oben rechts KachelX + 1 18425 KachelY 22440 -2.25835528 1.31872823 -129.394226 75.557562
    Unten links KachelX 18424 KachelY + 1 22441 -2.25840321 1.31871628 -129.396972 75.556877
    Unten rechts KachelX + 1 18425 KachelY + 1 22441 -2.25835528 1.31871628 -129.394226 75.556877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31872823-1.31871628) × R
    1.19499999999828e-05 × 6371000     		dl = 76.1334499998905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31872823-1.31871628) × R
    1.19499999999828e-05 × 6371000     		dr = 76.1334499998905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25840321--2.25835528) × cos(1.31872823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.249407233423821 × 6371000     		do = 76.1594990950284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25840321--2.25835528) × cos(1.31871628) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.249418805770414 × 6371000     		du = 76.163032850276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31872823)-sin(1.31871628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249407233423821-0.249418805770414)×R²
    abs(-2.25835528--2.25840321)×1.15723465935191e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.15723465935191e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.15723465935191e-05×40589641000000     		ar = 5798.41993494286m²