Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18423 / 15238
↖ ↑ ↗
← N 12.490214°
E 22.401123°		 ← 1 192.73 m → N 12.490214°
E 22.412109°		 →
↑
1 192.71 m
↓
↑
1 192.71 m
↓
N 12.479487°
E 22.401123°		 ← 1 192.78 m →
1 422 612 m²		 N 12.479487°
E 22.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562240600585938 y=0.465042114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562240600585938 × 215)
    floor (0.562240600585938 × 32768)
    floor (18423.5)     		tx = 18423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465042114257812 × 215)
    floor (0.465042114257812 × 32768)
    floor (15238.5)     		ty = 15238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18423 / 15238 ti = "15/18423/15238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18423/15238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18423 ÷ 215
    18423 ÷ 32768     		x = 0.562225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15238 ÷ 215
    15238 ÷ 32768     		y = 0.46502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562225341796875 × 2 - 1) × π
    0.12445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39097335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46502685546875 × 2 - 1) × π
    0.0699462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.219742747858337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39097335} λ = 0.39097335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.219742747858337))-π/2
    2×atan(1.24575621590807)-π/2
    2×0.894395839738775-π/2
    1.78879167947755-1.57079632675     		φ = 0.21799535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39097335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.401123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21799535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.490214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18423 KachelY 15238 0.39097335 0.21799535 22.401123 12.490214
    Oben rechts KachelX + 1 18424 KachelY 15238 0.39116510 0.21799535 22.412109 12.490214
    Unten links KachelX 18423 KachelY + 1 15239 0.39097335 0.21780814 22.401123 12.479487
    Unten rechts KachelX + 1 18424 KachelY + 1 15239 0.39116510 0.21780814 22.412109 12.479487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21799535-0.21780814) × R
    0.000187209999999993 × 6371000     		dl = 1192.71490999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21799535-0.21780814) × R
    0.000187209999999993 × 6371000     		dr = 1192.71490999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39097335-0.39116510) × cos(0.21799535) × R
    0.000191749999999991 × 0.976332962170869 × 6371000     		do = 1192.72666765664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39097335-0.39116510) × cos(0.21780814) × R
    0.000191749999999991 × 0.976373433502401 × 6371000     		du = 1192.77610902374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21799535)-sin(0.21780814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976332962170869-0.976373433502401)×R²
    abs(0.39116510-0.39097335)×4.047133153251e-05×R²
    0.000191749999999991×4.047133153251e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.047133153251e-05×40589641000000     		ar = 1422612.36895147m²