Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18422 / 15237
↖ ↑ ↗
← N 12.500940°
E 22.390137°		 ← 1 192.61 m → N 12.500940°
E 22.401123°		 →
↑
1 192.71 m
↓
↑
1 192.71 m
↓
N 12.490214°
E 22.390137°		 ← 1 192.66 m →
1 422 479 m²		 N 12.490214°
E 22.401123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562210083007812 y=0.465011596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562210083007812 × 215)
    floor (0.562210083007812 × 32768)
    floor (18422.5)     		tx = 18422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465011596679688 × 215)
    floor (0.465011596679688 × 32768)
    floor (15237.5)     		ty = 15237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18422 / 15237 ti = "15/18422/15237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18422/15237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18422 ÷ 215
    18422 ÷ 32768     		x = 0.56219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15237 ÷ 215
    15237 ÷ 32768     		y = 0.464996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56219482421875 × 2 - 1) × π
    0.1243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39078161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464996337890625 × 2 - 1) × π
    0.07000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.219934495456818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39078161} λ = 0.39078161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.219934495456818))-π/2
    2×atan(1.24599510957368)-π/2
    2×0.894489442547721-π/2
    1.78897888509544-1.57079632675     		φ = 0.21818256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39078161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.390137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21818256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.500940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18422 KachelY 15237 0.39078161 0.21818256 22.390137 12.500940
    Oben rechts KachelX + 1 18423 KachelY 15237 0.39097335 0.21818256 22.401123 12.500940
    Unten links KachelX 18422 KachelY + 1 15238 0.39078161 0.21799535 22.390137 12.490214
    Unten rechts KachelX + 1 18423 KachelY + 1 15238 0.39097335 0.21799535 22.401123 12.490214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21818256-0.21799535) × R
    0.000187209999999993 × 6371000     		dl = 1192.71490999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21818256-0.21799535) × R
    0.000187209999999993 × 6371000     		dr = 1192.71490999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39078161-0.39097335) × cos(0.21818256) × R
    0.000191739999999996 × 0.976292456621225 × 6371000     		do = 1192.61498489497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39078161-0.39097335) × cos(0.21799535) × R
    0.000191739999999996 × 0.976332962170869 × 6371000     		du = 1192.66446548365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21818256)-sin(0.21799535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976292456621225-0.976332962170869)×R²
    abs(0.39097335-0.39078161)×4.05055496440765e-05×R²
    0.000191739999999996×4.05055496440765e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.05055496440765e-05×40589641000000     		ar = 1422479.18664597m²