Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18421 / 22508
↖ ↑ ↗
← N 75.510907°
W129.405213°		 ← 76.42 m → N 75.510907°
W129.402466°		 →
↑
76.39 m
↓
↑
76.39 m
↓
N 75.510220°
W129.405213°		 ← 76.42 m →
5 837 m²		 N 75.510220°
W129.402466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140544891357422 y=0.171726226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140544891357422 × 217)
    floor (0.140544891357422 × 131072)
    floor (18421.5)     		tx = 18421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171726226806641 × 217)
    floor (0.171726226806641 × 131072)
    floor (22508.5)     		ty = 22508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18421 / 22508 ti = "17/18421/22508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18421/22508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18421 ÷ 217
    18421 ÷ 131072     		x = 0.140541076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22508 ÷ 217
    22508 ÷ 131072     		y = 0.171722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140541076660156 × 2 - 1) × π
    -0.718917846679688 × 3.1415926535     		Λ = -2.25854703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171722412109375 × 2 - 1) × π
    0.65655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06262891685178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25854703} λ = -2.25854703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06262891685178))-π/2
    2×atan(7.86662334889406)-π/2
    2×1.44435514068559-π/2
    2.88871028137118-1.57079632675     		φ = 1.31791395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25854703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.405213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31791395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.510907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18421 KachelY 22508 -2.25854703 1.31791395 -129.405213 75.510907
    Oben rechts KachelX + 1 18422 KachelY 22508 -2.25849909 1.31791395 -129.402466 75.510907
    Unten links KachelX 18421 KachelY + 1 22509 -2.25854703 1.31790196 -129.405213 75.510220
    Unten rechts KachelX + 1 18422 KachelY + 1 22509 -2.25849909 1.31790196 -129.402466 75.510220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31791395-1.31790196) × R
    1.19899999999618e-05 × 6371000     		dl = 76.3882899997563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31791395-1.31790196) × R
    1.19899999999618e-05 × 6371000     		dr = 76.3882899997563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25854703--2.25849909) × cos(1.31791395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.25019569834084 × 6371000     		do = 76.4162063105178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25854703--2.25849909) × cos(1.31790196) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250207306984339 × 6371000     		du = 76.4197518890489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31791395)-sin(1.31790196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25019569834084-0.250207306984339)×R²
    abs(-2.25849909--2.25854703)×1.16086434990836e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16086434990836e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16086434990836e-05×40589641000000     		ar = 5837.43874870385m²