Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18420 / 34775
↖ ↑ ↗
← N 64.217131°
W129.407959°		 ← 132.82 m → N 64.217131°
W129.405213°		 →
↑
132.84 m
↓
↑
132.84 m
↓
N 64.215937°
W129.407959°		 ← 132.83 m →
17 644 m²		 N 64.215937°
W129.405213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140537261962891 y=0.265316009521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140537261962891 × 217)
    floor (0.140537261962891 × 131072)
    floor (18420.5)     		tx = 18420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265316009521484 × 217)
    floor (0.265316009521484 × 131072)
    floor (34775.5)     		ty = 34775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18420 / 34775 ti = "17/18420/34775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18420/34775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18420 ÷ 217
    18420 ÷ 131072     		x = 0.140533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34775 ÷ 217
    34775 ÷ 131072     		y = 0.265312194824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.71893310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25859496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265312194824219 × 2 - 1) × π
    0.469375610351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.47458696921255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25859496} λ = -2.25859496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47458696921255))-π/2
    2×atan(4.36923077336834)-π/2
    2×1.3457983517107-π/2
    2.69159670342141-1.57079632675     		φ = 1.12080038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25859496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.407959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12080038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.217131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18420 KachelY 34775 -2.25859496 1.12080038 -129.407959 64.217131
    Oben rechts KachelX + 1 18421 KachelY 34775 -2.25854703 1.12080038 -129.405213 64.217131
    Unten links KachelX 18420 KachelY + 1 34776 -2.25859496 1.12077953 -129.407959 64.215937
    Unten rechts KachelX + 1 18421 KachelY + 1 34776 -2.25854703 1.12077953 -129.405213 64.215937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12080038-1.12077953) × R
    2.08499999998502e-05 × 6371000     		dl = 132.835349999045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12080038-1.12077953) × R
    2.08499999998502e-05 × 6371000     		dr = 132.835349999045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25859496--2.25854703) × cos(1.12080038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434961884410867 × 6371000     		do = 132.820843996409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25859496--2.25854703) × cos(1.12077953) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434980658675164 × 6371000     		du = 132.826576943866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12080038)-sin(1.12077953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434961884410867-0.434980658675164)×R²
    abs(-2.25854703--2.25859496)×1.87742642971944e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87742642971944e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87742642971944e-05×40589641000000     		ar = 17643.6840691471m²