Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18420 / 15241
↖ ↑ ↗
← N 12.458033°
E 22.368164°		 ← 1 192.87 m → N 12.458033°
E 22.379150°		 →
↑
1 192.91 m
↓
↑
1 192.91 m
↓
N 12.447305°
E 22.368164°		 ← 1 192.92 m →
1 423 017 m²		 N 12.447305°
E 22.379150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562149047851562 y=0.465133666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562149047851562 × 215)
    floor (0.562149047851562 × 32768)
    floor (18420.5)     		tx = 18420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465133666992188 × 215)
    floor (0.465133666992188 × 32768)
    floor (15241.5)     		ty = 15241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18420 / 15241 ti = "15/18420/15241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18420/15241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18420 ÷ 215
    18420 ÷ 32768     		x = 0.5621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15241 ÷ 215
    15241 ÷ 32768     		y = 0.465118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5621337890625 × 2 - 1) × π
    0.124267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39039811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465118408203125 × 2 - 1) × π
    0.06976318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.219167505062897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39039811} λ = 0.39039811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.219167505062897))-π/2
    2×atan(1.24503980969351)-π/2
    2×0.894115008033796-π/2
    1.78823001606759-1.57079632675     		φ = 0.21743369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39039811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.368164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21743369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.458033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18420 KachelY 15241 0.39039811 0.21743369 22.368164 12.458033
    Oben rechts KachelX + 1 18421 KachelY 15241 0.39058986 0.21743369 22.379150 12.458033
    Unten links KachelX 18420 KachelY + 1 15242 0.39039811 0.21724645 22.368164 12.447305
    Unten rechts KachelX + 1 18421 KachelY + 1 15242 0.39058986 0.21724645 22.379150 12.447305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21743369-0.21724645) × R
    0.000187240000000005 × 6371000     		dl = 1192.90604000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21743369-0.21724645) × R
    0.000187240000000005 × 6371000     		dr = 1192.90604000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39039811-0.39058986) × cos(0.21743369) × R
    0.000191749999999991 × 0.976454279977193 × 6371000     		do = 1192.87487425057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39039811-0.39058986) × cos(0.21724645) × R
    0.000191749999999991 × 0.97649465510665 × 6371000     		du = 1192.92419809344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21743369)-sin(0.21724645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976454279977193-0.97649465510665)×R²
    abs(0.39058986-0.39039811)×4.03751294570931e-05×R²
    0.000191749999999991×4.03751294570931e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.03751294570931e-05×40589641000000     		ar = 1423017.06597021m²