Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1842 / 1266
↖ ↑ ↗
← N 56.462490°
W 18.105469°		 ← 5 399.41 m → N 56.462490°
W 18.017578°		 →
↑
5 402.86 m
↓
↑
5 402.86 m
↓
N 56.413901°
W 18.105469°		 ← 5 406.31 m →
29 190 913 m²		 N 56.413901°
W 18.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4498291015625 y=0.3092041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4498291015625 × 212)
    floor (0.4498291015625 × 4096)
    floor (1842.5)     		tx = 1842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3092041015625 × 212)
    floor (0.3092041015625 × 4096)
    floor (1266.5)     		ty = 1266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1842 / 1266 ti = "12/1842/1266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1842/1266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1842 ÷ 212
    1842 ÷ 4096     		x = 0.44970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1266 ÷ 212
    1266 ÷ 4096     		y = 0.30908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31600004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30908203125 × 2 - 1) × π
    0.3818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19957297609229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31600004} λ = -0.31600004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19957297609229))-π/2
    2×atan(3.31869945610174)-π/2
    2×1.2781263447979-π/2
    2.5562526895958-1.57079632675     		φ = 0.98545636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31600004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98545636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.462490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1842 KachelY 1266 -0.31600004 0.98545636 -18.105469 56.462490
    Oben rechts KachelX + 1 1843 KachelY 1266 -0.31446606 0.98545636 -18.017578 56.462490
    Unten links KachelX 1842 KachelY + 1 1267 -0.31600004 0.98460832 -18.105469 56.413901
    Unten rechts KachelX + 1 1843 KachelY + 1 1267 -0.31446606 0.98460832 -18.017578 56.413901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98545636-0.98460832) × R
    0.00084804000000005 × 6371000     		dl = 5402.86284000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98545636-0.98460832) × R
    0.00084804000000005 × 6371000     		dr = 5402.86284000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31600004--0.31446606) × cos(0.98545636) × R
    0.00153397999999999 × 0.552482784839583 × 6371000     		do = 5399.40684191824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31600004--0.31446606) × cos(0.98460832) × R
    0.00153397999999999 × 0.553189448044213 × 6371000     		du = 5406.31305193367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98545636)-sin(0.98460832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552482784839583-0.553189448044213)×R²
    abs(-0.31446606--0.31600004)×0.000706663204629643×R²
    0.00153397999999999×0.000706663204629643×6371000²
    0.00153397999999999×0.000706663204629643×40589641000000     		ar = 29190912.9864113m²