Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18418 / 15242
↖ ↑ ↗
← N 12.447305°
E 22.346192°		 ← 1 192.86 m → N 12.447305°
E 22.357178°		 →
↑
1 192.91 m
↓
↑
1 192.91 m
↓
N 12.436577°
E 22.346192°		 ← 1 192.91 m →
1 423 002 m²		 N 12.436577°
E 22.357178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562088012695312 y=0.465164184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562088012695312 × 215)
    floor (0.562088012695312 × 32768)
    floor (18418.5)     		tx = 18418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465164184570312 × 215)
    floor (0.465164184570312 × 32768)
    floor (15242.5)     		ty = 15242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18418 / 15242 ti = "15/18418/15242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18418/15242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18418 ÷ 215
    18418 ÷ 32768     		x = 0.56207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15242 ÷ 215
    15242 ÷ 32768     		y = 0.46514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56207275390625 × 2 - 1) × π
    0.1241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39001462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46514892578125 × 2 - 1) × π
    0.0697021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.218975757464416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39001462} λ = 0.39001462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.218975757464416))-π/2
    2×atan(1.2448010991868)-π/2
    2×0.894021389716492-π/2
    1.78804277943298-1.57079632675     		φ = 0.21724645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39001462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.346192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21724645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.447305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18418 KachelY 15242 0.39001462 0.21724645 22.346192 12.447305
    Oben rechts KachelX + 1 18419 KachelY 15242 0.39020636 0.21724645 22.357178 12.447305
    Unten links KachelX 18418 KachelY + 1 15243 0.39001462 0.21705921 22.346192 12.436577
    Unten rechts KachelX + 1 18419 KachelY + 1 15243 0.39020636 0.21705921 22.357178 12.436577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21724645-0.21705921) × R
    0.000187240000000005 × 6371000     		dl = 1192.90604000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21724645-0.21705921) × R
    0.000187240000000005 × 6371000     		dr = 1192.90604000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39001462-0.39020636) × cos(0.21724645) × R
    0.000191739999999996 × 0.97649465510665 × 6371000     		do = 1192.86198561899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39001462-0.39020636) × cos(0.21705921) × R
    0.000191739999999996 × 0.97653499600136 × 6371000     		du = 1192.91126506923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21724645)-sin(0.21705921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97649465510665-0.97653499600136)×R²
    abs(0.39020636-0.39001462)×4.03408947091677e-05×R²
    0.000191739999999996×4.03408947091677e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.03408947091677e-05×40589641000000     		ar = 1423001.66456583m²