Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1841 / 1231
↖ ↑ ↗
← N 58.124319°
W 18.193359°		 ← 5 160.90 m → N 58.124319°
W 18.105469°		 →
↑
5 164.27 m
↓
↑
5 164.27 m
↓
N 58.077876°
W 18.193359°		 ← 5 167.62 m →
26 669 636 m²		 N 58.077876°
W 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4495849609375 y=0.3006591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4495849609375 × 212)
    floor (0.4495849609375 × 4096)
    floor (1841.5)     		tx = 1841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3006591796875 × 212)
    floor (0.3006591796875 × 4096)
    floor (1231.5)     		ty = 1231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1841 / 1231 ti = "12/1841/1231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1841/1231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1841 ÷ 212
    1841 ÷ 4096     		x = 0.449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1231 ÷ 212
    1231 ÷ 4096     		y = 0.300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300537109375 × 2 - 1) × π
    0.39892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25326230366675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31753402} λ = -0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25326230366675))-π/2
    2×atan(3.50174810950979)-π/2
    2×1.29262853968841-π/2
    2.58525707937683-1.57079632675     		φ = 1.01446075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01446075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.124319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1841 KachelY 1231 -0.31753402 1.01446075 -18.193359 58.124319
    Oben rechts KachelX + 1 1842 KachelY 1231 -0.31600004 1.01446075 -18.105469 58.124319
    Unten links KachelX 1841 KachelY + 1 1232 -0.31753402 1.01365016 -18.193359 58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 1842 KachelY + 1 1232 -0.31600004 1.01365016 -18.105469 58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01446075-1.01365016) × R
    0.000810589999999944 × 6371000     		dl = 5164.26888999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01446075-1.01365016) × R
    0.000810589999999944 × 6371000     		dr = 5164.26888999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31753402--0.31600004) × cos(1.01446075) × R
    0.00153397999999999 × 0.5280779372003 × 6371000     		do = 5160.89859345259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31753402--0.31600004) × cos(1.01365016) × R
    0.00153397999999999 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 5167.6241297142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01446075)-sin(1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5280779372003-0.528766113348559)×R²
    abs(-0.31600004--0.31753402)×0.000688176148258779×R²
    0.00153397999999999×0.000688176148258779×6371000²
    0.00153397999999999×0.000688176148258779×40589641000000     		ar = 26669635.7497431m²