Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18409 / 18392
↖ ↑ ↗
← S 21.534847°
E 22.247315°		 ← 1 136.30 m → S 21.534847°
E 22.258301°		 →
↑
1 136.33 m
↓
↑
1 136.33 m
↓
S 21.545066°
E 22.247315°		 ← 1 136.22 m →
1 291 171 m²		 S 21.545066°
E 22.258301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561813354492188 y=0.561294555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561813354492188 × 215)
    floor (0.561813354492188 × 32768)
    floor (18409.5)     		tx = 18409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561294555664062 × 215)
    floor (0.561294555664062 × 32768)
    floor (18392.5)     		ty = 18392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18409 / 18392 ti = "15/18409/18392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18409/18392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18409 ÷ 215
    18409 ÷ 32768     		x = 0.561798095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18392 ÷ 215
    18392 ÷ 32768     		y = 0.561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561798095703125 × 2 - 1) × π
    0.12359619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38828889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.385029177748291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38828889} λ = 0.38828889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.385029177748291))-π/2
    2×atan(0.680430782476845)-π/2
    2×0.597471171353076-π/2
    1.19494234270615-1.57079632675     		φ = -0.37585398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38828889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.247315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37585398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.534847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18409 KachelY 18392 0.38828889 -0.37585398 22.247315 -21.534847
    Oben rechts KachelX + 1 18410 KachelY 18392 0.38848063 -0.37585398 22.258301 -21.534847
    Unten links KachelX 18409 KachelY + 1 18393 0.38828889 -0.37603234 22.247315 -21.545066
    Unten rechts KachelX + 1 18410 KachelY + 1 18393 0.38848063 -0.37603234 22.258301 -21.545066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37585398--0.37603234) × R
    0.000178360000000044 × 6371000     		dl = 1136.33156000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37585398--0.37603234) × R
    0.000178360000000044 × 6371000     		dr = 1136.33156000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38828889-0.38848063) × cos(-0.37585398) × R
    0.000191739999999996 × 0.930194493234809 × 6371000     		do = 1136.30284037831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38828889-0.38848063) × cos(-0.37603234) × R
    0.000191739999999996 × 0.930129008363818 × 6371000     		du = 1136.22284566167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37585398)-sin(-0.37603234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930194493234809-0.930129008363818)×R²
    abs(0.38848063-0.38828889)×6.54848709908951e-05×R²
    0.000191739999999996×6.54848709908951e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.54848709908951e-05×40589641000000     		ar = 1291171.33240232m²