Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18408 / 18390
↖ ↑ ↗
← S 21.514406°
E 22.236328°		 ← 1 136.52 m → S 21.514406°
E 22.247315°		 →
↑
1 136.52 m
↓
↑
1 136.52 m
↓
S 21.524627°
E 22.236328°		 ← 1 136.44 m →
1 291 638 m²		 S 21.524627°
E 22.247315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561782836914062 y=0.561233520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561782836914062 × 215)
    floor (0.561782836914062 × 32768)
    floor (18408.5)     		tx = 18408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561233520507812 × 215)
    floor (0.561233520507812 × 32768)
    floor (18390.5)     		ty = 18390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18408 / 18390 ti = "15/18408/18390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18408/18390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18408 ÷ 215
    18408 ÷ 32768     		x = 0.561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18390 ÷ 215
    18390 ÷ 32768     		y = 0.56121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561767578125 × 2 - 1) × π
    0.12353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38809714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56121826171875 × 2 - 1) × π
    -0.1224365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.384645682551331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38809714} λ = 0.38809714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.384645682551331))-π/2
    2×atan(0.680691774455175)-π/2
    2×0.597649546463701-π/2
    1.1952990929274-1.57079632675     		φ = -0.37549723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38809714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.236328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37549723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.514406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18408 KachelY 18390 0.38809714 -0.37549723 22.236328 -21.514406
    Oben rechts KachelX + 1 18409 KachelY 18390 0.38828889 -0.37549723 22.247315 -21.514406
    Unten links KachelX 18408 KachelY + 1 18391 0.38809714 -0.37567562 22.236328 -21.524627
    Unten rechts KachelX + 1 18409 KachelY + 1 18391 0.38828889 -0.37567562 22.247315 -21.524627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37549723--0.37567562) × R
    0.000178389999999973 × 6371000     		dl = 1136.52268999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37549723--0.37567562) × R
    0.000178389999999973 × 6371000     		dr = 1136.52268999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38809714-0.38828889) × cos(-0.37549723) × R
    0.000191749999999991 × 0.930325385201914 × 6371000     		do = 1136.52200583397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38809714-0.38828889) × cos(-0.37567562) × R
    0.000191749999999991 × 0.930259948514183 × 6371000     		du = 1136.44206580785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37549723)-sin(-0.37567562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930325385201914-0.930259948514183)×R²
    abs(0.38828889-0.38809714)×6.54366877307355e-05×R²
    0.000191749999999991×6.54366877307355e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.54366877307355e-05×40589641000000     		ar = 1291637.6239131m²