Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18406 / 14437
↖ ↑ ↗
← N 70.427600°
W 78.892822°		 ← 204.61 m → N 70.427600°
W 78.887329°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
N 70.425759°
W 78.892822°		 ← 204.63 m →
41 873 m²		 N 70.425759°
W 78.887329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280860900878906 y=0.220298767089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280860900878906 × 216)
    floor (0.280860900878906 × 65536)
    floor (18406.5)     		tx = 18406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220298767089844 × 216)
    floor (0.220298767089844 × 65536)
    floor (14437.5)     		ty = 14437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18406 / 14437 ti = "16/18406/14437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18406/14437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18406 ÷ 216
    18406 ÷ 65536     		x = 0.280853271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14437 ÷ 216
    14437 ÷ 65536     		y = 0.220291137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280853271484375 × 2 - 1) × π
    -0.43829345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.37693950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220291137695312 × 2 - 1) × π
    0.559417724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7574626138705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37693950} λ = -1.37693950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7574626138705))-π/2
    2×atan(5.79770769175392)-π/2
    2×1.39999491473055-π/2
    2.7999898294611-1.57079632675     		φ = 1.22919350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37693950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.892822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22919350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.427600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18406 KachelY 14437 -1.37693950 1.22919350 -78.892822 70.427600
    Oben rechts KachelX + 1 18407 KachelY 14437 -1.37684363 1.22919350 -78.887329 70.427600
    Unten links KachelX 18406 KachelY + 1 14438 -1.37693950 1.22916138 -78.892822 70.425759
    Unten rechts KachelX + 1 18407 KachelY + 1 14438 -1.37684363 1.22916138 -78.887329 70.425759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22919350-1.22916138) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dl = 204.636519999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22919350-1.22916138) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dr = 204.636519999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37693950--1.37684363) × cos(1.22919350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334997735559695 × 6371000     		do = 204.612519857551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37693950--1.37684363) × cos(1.22916138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335027999459001 × 6371000     		du = 204.63100467712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22919350)-sin(1.22916138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334997735559695-0.335027999459001)×R²
    abs(-1.37684363--1.37693950)×3.02638993059934e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02638993059934e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02638993059934e-05×40589641000000     		ar = 41873.0853501327m²