Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18404 / 14389
↖ ↑ ↗
← N 70.515738°
W 78.903808°		 ← 203.73 m → N 70.515738°
W 78.898316°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
N 70.513906°
W 78.903808°		 ← 203.75 m →
41 510 m²		 N 70.513906°
W 78.898316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280830383300781 y=0.219566345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280830383300781 × 216)
    floor (0.280830383300781 × 65536)
    floor (18404.5)     		tx = 18404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219566345214844 × 216)
    floor (0.219566345214844 × 65536)
    floor (14389.5)     		ty = 14389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18404 / 14389 ti = "16/18404/14389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18404/14389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18404 ÷ 216
    18404 ÷ 65536     		x = 0.28082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14389 ÷ 216
    14389 ÷ 65536     		y = 0.219558715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.4383544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37713125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219558715820312 × 2 - 1) × π
    0.560882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76206455623402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37713125} λ = -1.37713125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76206455623402))-π/2
    2×atan(5.82444989423395)-π/2
    2×1.40076406581696-π/2
    2.80152813163391-1.57079632675     		φ = 1.23073180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37713125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.903808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23073180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.515738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18404 KachelY 14389 -1.37713125 1.23073180 -78.903808 70.515738
    Oben rechts KachelX + 1 18405 KachelY 14389 -1.37703538 1.23073180 -78.898316 70.515738
    Unten links KachelX 18404 KachelY + 1 14390 -1.37713125 1.23069982 -78.903808 70.513906
    Unten rechts KachelX + 1 18405 KachelY + 1 14390 -1.37703538 1.23069982 -78.898316 70.513906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23073180-1.23069982) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dl = 203.744579999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23073180-1.23069982) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dr = 203.744579999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37713125--1.37703538) × cos(1.23073180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333547924383441 × 6371000     		do = 203.726992922286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37713125--1.37703538) × cos(1.23069982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333578072818841 × 6371000     		du = 203.745407217913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23073180)-sin(1.23069982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333547924383441-0.333578072818841)×R²
    abs(-1.37703538--1.37713125)×3.01484353995574e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01484353995574e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01484353995574e-05×40589641000000     		ar = 41510.1465174259m²